Что такое целое число
ОГРАНИЧЕНИЕ ВСЕГО НОМЕРА
Определение
Целые числа - это все натуральные числа, все числа противоположны по знаку и нулю.
Обозначает множество целых чисел Z
\( Z = \{ \ldots , - 3 , - 2 , - 1,0,1,2,3 , \ldots \} \)
Очевидна такая привязанность \( N \subset Z \)
На множестве целых чисел вы можете ввести четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление.
СЛОЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
Сумма двух целых чисел n и p является целым числом s, которое рассчитывается по правилу:
если \( n \geq 0 \) и \( p \geq 0 \), то \( s = n + p \)
если \( n \geq 0 \) и \( p < 0 \), то \( s = - ( | n | + | p | ) \)
если \( n \geq 0 \) и \( p < 0 \) \( | n | \geq | p | \), то \( s = | n | - | p | \)
если \( n \geq 0 \) и \( p < 0 \) \( | n | < | p | \), то \( s = - ( | p | - | n | ) \)
если \( n \geq 0 \) и \( p > 0 \) \( | n | > | p | \), то \( s = - ( | n | - | p | ) \)
если \( n \geq 0 \) и \( p > 0 \) \( | n | \leq | p | \), то \( s = | p | - | n | \)
Пример
1) 5 + 19 ; 2) 5 + (-19) ; 3) -5 + 19 ; 4) – 5 + (- 19)
2) первый член является положительным, а второй отрицательным, а модуль второго члена больше, чем модуль первого члена, поэтому сумма будет равна
\( 5 + ( - 19 ) = - ( | - 19 | - | 5 | ) = - ( 19 - 5 ) = - 14 \)
3) первый член отрицателен, а второй положителен, а модуль второго члена больше первого, сумма будет равна
\( - 5 + 19 = ( | 19 | - | - 5 | ) = ( 19 - 5 ) = 14 \)
4) оба слагаемых являются отрицательными числами, поэтому их сумма равна
\( - 5 + ( - 19 ) = - ( | - 5 | + | - 19 | ) = - ( 5 + 19 ) = - 24 \)
\( 5 + 19 = 24 \)
\( 5 + ( - 19 ) = - 14 \)
\( - 5 + 19 = 14 \)
\( - 5 + ( - 19 ) = - 24 \)
Умножение целых чисел
Произведение двух целых чисел n и p является целым числом m, вычисляемым по правилу:
если \( n \geq 0 \) и \( p \geq 0 \), то \( m = n \cdot p \)
если \( n \geq 0 \) и \( p < 0 \), то \( m = | n | \cdot | p | \)
если \( n \geq 0 \) и \( p < 0 \) или если \( n < 0 \) и \( p > 0 \), то \( s = - ( | n | \cdot | p | ) \)
если \( n = 0 \) или \( p = 0 \), то \( m = 0 \)
Пример
1) \( 5 \cdot 9 ; 2 ) ^ { 5 \cdot ( - 9 ) } ; 3 ) - 5 \cdot ( - 9 ) ; 4 ) 5 \cdot 0 \)
1) \( 5 \cdot 9 = 45 \)
2) первый фактор положительный, а второй отрицательный, произведение также будет иметь отрицательное число:
\( 5 \cdot ( - 9 ) = - ( 5 \cdot | - 9 | ) = - ( 5 \cdot 9 ) = - 45 \)
3) оба фактора отрицательны, следовательно, их произведение является положительным числом:
\( - 5 \cdot ( - 9 ) = | - 5 | \cdot | - 9 | = 5 \cdot 9 = 45 \)
4) при умножении на ноль результат всегда равен нулю:
\( 5 \cdot 0 = 0 \)
\( 5 \cdot 9 = 45 \)
\( 5 \cdot ( - 9 ) = - 45 \)
\( - 5 \cdot ( - 9 ) = 45 \)
\( 5 \cdot 0 = 0 \)
ЗАВЕРШЕНИЕ ЦЕЛЫХ НОМЕРОВ
Разница двух целых чисел n и m представляет собой целое число r, рассчитанное по правилу
\( r = n + ( - p ) \)
то есть разность двух целых чисел n и p является суммой целого числа с числом n и числом (-p), противоположным числу p. Следовательно, разница рассчитывается по правилу сложения двух целых чисел.
Пример
\( - 27 - 13 ; 2 ) 27 - ( - 5 ) \)
\( - 27 - 13 = - 27 + ( - 13 ) \)
По правилу сложения целых чисел оно равно:
\(\
-27-13=-27+(-13)=-(|-27|+|-13|)=-(27+13)=-40
\)
Второе выражение записывается как:
\( 27 - ( - 5 ) = 27 + ( - ( - 5 ) ) = 27 + 5 = 32 \)
\( - 27 - 13 = - 40 \)
\( - 27 - 13 = - 40 \)
ДЕЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
Конкретным результатом деления целого числа m на целое число \( n \neq 0 \) является целое число p, удовлетворяющее правилу: \( m = n \cdot p \). Говорят, что число p получается путем деления числа m на число n, и они пишут:
\( p = m : n \). На множестве целых чисел операция деления не всегда выполнима - для каждой пары целых чисел нет особенных. Поэтому говорят, что множество целых чисел не является замкнутым относительно операции деления.