Алгебраическая форма записи комплексного числа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Алгебраической формой комплексного числа является запись комплексного числа \(\
z
\) в виде \(\
z=x+i y
\), где \(\
x
\) и \(\
y
\) - вещественные числа, \(\
i
\) - мнимая единица, удовлетворяющая соотношению \(\
i^{2}=-1
\)
Число \(\
x
\) называется вещественной частью комплексного числа \(\
z
\) и обозначается \(\
x=\operatorname{Re} z
\)
Число \(\
y
\) называется мнимой частью комплексного числа \(\
z
\) и обозначается \(\
y=\operatorname{Im} z
\)
Например:
Комплексное число \(\
z=3-2 i
\) и его присоединенное число \(\
\overline{z}=3+2 i
\)записаны в алгебраической форме.
Мнимая величина \(\
z=5 i
\)записывается в алгебраической форме.
Кроме того, в зависимости от решаемой задачи вы можете перевести комплексное число в тригонометрическую или экспоненциальную.
ПРИМЕР
Напишите число \(\
z=\frac{7-i}{4}+13
\) в алгебраической форме, найдите ее действительную и мнимую части, а также сопряженное число.
Применяя термин деление фракций и правило сложения дробей, получим:
\(\
z=\frac{7-i}{4}+13=\frac{7}{4}+13-\frac{i}{4}=\frac{59}{4}-\frac{1}{4} i
\)
Поэтому вещественная часть комплексного числа \(\
z=\frac{5 g}{4}-\frac{1}{4} i
\) есть число \(\
x=\operatorname{Re} z=\frac{59}{4}
\) , мнимая часть - число \(\
y=\operatorname{Im} z=-\frac{1}{4}
\)
Сопряженное число: \(\
\overline{z}=\frac{59}{4}+\frac{1}{4} i
\)
\(\
z=\frac{59}{4}-\frac{1}{4} i
\), \(\
\operatorname{Re} z=\frac{59}{4}
\), \(\
\operatorname{Im} z=-\frac{1}{4}
\), \(\
\overline{z}=\frac{59}{4}+\frac{1}{4} i
\)
Действия комплексных чисел в алгебраической форме
сравнение
Два комплексных числа \(\
z_{1}=x_{1}+i y_{1}
\) называются равными, если \(\
x_{1}=x_{2}
\), \(\
y_{1}=y_{2}
\) т. e. Их действительная и мнимая части равны.
ПРИМЕР
Определить, для каких х и у два комплексных числа \(\
z_{1}=13+y i
\) и \(\
z_{2}=x+5 i
\) равны.
По определению два комплексных числа равны, если их действительная и мнимая части равны, т. e. \(\
x=13
\), \(\
y=5
\).
прибавление
Добавление комплексных чисел \(\
z_{1}=x_{1}+i y_{1}
\) выполняется путем прямого суммирования вещественной и мнимой частей:
\(\
z_{1}+z_{2}=x_{1}+i y_{1}+x_{2}+i y_{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)+i\left(y_{1}+y_{2}\right)
\)
ПРИМЕР
Найти сумму комплексных чисел \(\
z_{1}=-7+5 i
\), \(\
z_{2}=13-4 i
\)
Действительной частью комплексного числа \(\
z_{1}=-7+5 i
\) является число \(\
x_{1}=\operatorname{Re} z_{1}=-7
\) , мнимая часть - число \(\
y_{1}=\mathrm{Im}
\), \(\
z_{1}=5
\) . Реальная и мнимая части комплексного числа \(\
z_{2}=13-4 i
\) равны соответственно \(\
x_{2}=\operatorname{Re} z_{2}=13
\) и \(\
y_{2}=\operatorname{Im} z_{2}=-4
\) .
Следовательно, сумма комплексных чисел:
\(\
z_{1}+z_{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)+i\left(y_{1}+y_{2}\right)=(-7+13)+i(5-4)=6+i
\)
\(\
z_{1}+z_{2}=6+i
\)
Подробнее о добавлении комплексных чисел в отдельной статье: Добавление комплексных чисел.
Вычитание
Вычитание комплексных чисел \(\
z_{1}=x_{1}+i y_{1}
\) и \(\
z_{2}=x_{2}+i y_{2}
\) выполняется путем прямого вычитания действительной и мнимой частей:
\(\
z_{1}-z_{2}=x_{1}+i y_{1}-\left(x_{2}+i y_{2}\right)=x_{1}-x_{2}+\left(i y_{1}-i y_{2}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)+i\left(y_{1}-y_{2}\right)
\)
ПРИМЕР
найти разницу сложных чисел \(\
z_{1}=17-35 i
\), \(\
z_{2}=15+5 i
\)
Найдите действительную и мнимую части комплексных чисел \(\
z_{1}=17-35 i
\), \(\
z_{2}=15+5 i
\) :
\(\
x_{1}=\operatorname{Re} z_{1}=17, x_{2}=\operatorname{Re} z_{2}=15
\)
\(\
y_{1}=\operatorname{Im} z_{1}=-35, y_{2}=\operatorname{Im} z_{2}=5
\)
Поэтому разница комплексных чисел:
\(\
z_{1}-z_{2}=\left(x_{1}-x_{2}\right)+i\left(y_{1}-y_{2}\right)=(17-15)+i(-35-5)=2-40 i
\)
\(\
z_{1}-z_{2}=2-40 i
\)
умножение
Умножение комплексных чисел \(\
z_{1}=x_{1}+i y_{1}
\) и \(\
z_{2}=x_{2}+i y_{2}
\)выполняется путем непосредственного рождения чисел в алгебраической форме с учетом свойства мнимой единицы \(\
i^{2}=-1
\) :
\(\
z_{1} \cdot z_{2}=\left(x_{1}+i y_{1}\right) \cdot\left(x_{2}+i y_{2}\right)=x_{1} \cdot x_{2}+i^{2} \cdot y_{1} \cdot y_{2}+\left(x_{1} \cdot i y_{2}+x_{2} \cdot i y_{1}\right)=
\)
\(\
=\left(x_{1} \cdot x_{2}-y_{1} \cdot y_{2}\right)+i\left(x_{1} \cdot y_{2}+x_{2} \cdot y_{1}\right)
\)
ПРИМЕР
Найти произведение комплексных чисел \(\
z_{1}=1-5 i
\)
Комплекс комплексных чисел:
\(\
z_{1} \cdot z_{2}=\left(x_{1} \cdot x_{2}-y_{1} \cdot y_{2}\right)+i\left(x_{1} \cdot y_{2}+x_{2} \cdot y_{1}\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5)=15-23 i
\)
\(\
z_{1} \cdot z_{2}=15-23 i
\)
разделение
Фактор комплексных чисел \(\
z_{1}=x_{1}+i y_{1}
\) и \(\
z_{2}=x_{2}+i y_{2}
\) определяется путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное число с знаменателем:
\(\
\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{x_{1}+i y_{1}}{x_{2}+i y_{2}}=\frac{\left(x_{1}+i y_{1}\right)\left(x_{2}-i y_{2}\right)}{\left(x_{2}+i y_{2}\right)\left(x_{2}-i y_{2}\right)}=\frac{x_{1} \cdot x_{2}+y_{1} \cdot y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}+i \frac{x_{2} \cdot y_{1}-x_{1} \cdot y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}
\)
ПРИМЕР
Чтобы разделить число 1 на комплексное число \(\
z=1+2 i
\).
Поскольку мнимая часть действительного числа 1 равна нулю, фактор равен:
\(\
\frac{1}{1+2 i}=\frac{1 \cdot 1}{1^{2}+2^{2}}-i \frac{1 \cdot 2}{1^{2}+2^{2}}=\frac{1}{5}-i \frac{2}{5}
\)
\(\
\frac{1}{1+2 i}=\frac{1}{5}-i \frac{2}{5}
\)
