Узнать цену работы
Статьи по теме

Алгебраическая форма записи комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Алгебраической формой комплексного числа является запись комплексного числа \(\ z \) в виде \(\ z=x+i y \), где \(\ x \) и \(\ y \) - вещественные числа, \(\ i \) - мнимая единица, удовлетворяющая соотношению \(\ i^{2}=-1 \)

Число \(\ x \) называется вещественной частью комплексного числа \(\ z \) и обозначается \(\ x=\operatorname{Re} z \)

Число \(\ y \) называется мнимой частью комплексного числа \(\ z \) и обозначается \(\ y=\operatorname{Im} z \)

Например:

Комплексное число \(\ z=3-2 i \) и его присоединенное число \(\ \overline{z}=3+2 i \)записаны в алгебраической форме.

Мнимая величина \(\ z=5 i \)записывается в алгебраической форме.

Кроме того, в зависимости от решаемой задачи вы можете перевести комплексное число в тригонометрическую или экспоненциальную.

ПРИМЕР

  • Задача

    Напишите число \(\ z=\frac{7-i}{4}+13 \) в алгебраической форме, найдите ее действительную и мнимую части, а также сопряженное число.

  • Решение.

    Применяя термин деление фракций и правило сложения дробей, получим:

    \(\ z=\frac{7-i}{4}+13=\frac{7}{4}+13-\frac{i}{4}=\frac{59}{4}-\frac{1}{4} i \)

    Поэтому вещественная часть комплексного числа \(\ z=\frac{5 g}{4}-\frac{1}{4} i \) есть число \(\ x=\operatorname{Re} z=\frac{59}{4} \) , мнимая часть - число \(\ y=\operatorname{Im} z=-\frac{1}{4} \)

    Сопряженное число: \(\ \overline{z}=\frac{59}{4}+\frac{1}{4} i \)

  • Ответ

    \(\ z=\frac{59}{4}-\frac{1}{4} i \), \(\ \operatorname{Re} z=\frac{59}{4} \), \(\ \operatorname{Im} z=-\frac{1}{4} \), \(\ \overline{z}=\frac{59}{4}+\frac{1}{4} i \)

    Действия комплексных чисел в алгебраической форме сравнение

    Два комплексных числа \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) называются равными, если \(\ x_{1}=x_{2} \), \(\ y_{1}=y_{2} \) т. e. Их действительная и мнимая части равны.

    ПРИМЕР

  • Задача

    Определить, для каких х и у два комплексных числа \(\ z_{1}=13+y i \) и \(\ z_{2}=x+5 i \) равны.

  • Решение

    По определению два комплексных числа равны, если их действительная и мнимая части равны, т. e. \(\ x=13 \), \(\ y=5 \).

  • Ответ \(\ x=13 \), \(\ y=5 \)

    прибавление

    Добавление комплексных чисел \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) выполняется путем прямого суммирования вещественной и мнимой частей:

    \(\ z_{1}+z_{2}=x_{1}+i y_{1}+x_{2}+i y_{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)+i\left(y_{1}+y_{2}\right) \)

    ПРИМЕР

  • Задача

    Найти сумму комплексных чисел \(\ z_{1}=-7+5 i \), \(\ z_{2}=13-4 i \)

  • Решение.

    Действительной частью комплексного числа \(\ z_{1}=-7+5 i \) является число \(\ x_{1}=\operatorname{Re} z_{1}=-7 \) , мнимая часть - число \(\ y_{1}=\mathrm{Im} \), \(\ z_{1}=5 \) . Реальная и мнимая части комплексного числа \(\ z_{2}=13-4 i \) равны соответственно \(\ x_{2}=\operatorname{Re} z_{2}=13 \) и \(\ y_{2}=\operatorname{Im} z_{2}=-4 \) .

    Следовательно, сумма комплексных чисел:

    \(\ z_{1}+z_{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)+i\left(y_{1}+y_{2}\right)=(-7+13)+i(5-4)=6+i \)

  • Ответ

    \(\ z_{1}+z_{2}=6+i \)

    Подробнее о добавлении комплексных чисел в отдельной статье: Добавление комплексных чисел.

    Вычитание

    Вычитание комплексных чисел \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) и \(\ z_{2}=x_{2}+i y_{2} \) выполняется путем прямого вычитания действительной и мнимой частей:

    \(\ z_{1}-z_{2}=x_{1}+i y_{1}-\left(x_{2}+i y_{2}\right)=x_{1}-x_{2}+\left(i y_{1}-i y_{2}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)+i\left(y_{1}-y_{2}\right) \)

    ПРИМЕР

  • Задача

    найти разницу сложных чисел \(\ z_{1}=17-35 i \), \(\ z_{2}=15+5 i \)

  • Решение.

    Найдите действительную и мнимую части комплексных чисел \(\ z_{1}=17-35 i \), \(\ z_{2}=15+5 i \) :

    \(\ x_{1}=\operatorname{Re} z_{1}=17, x_{2}=\operatorname{Re} z_{2}=15 \)

    \(\ y_{1}=\operatorname{Im} z_{1}=-35, y_{2}=\operatorname{Im} z_{2}=5 \)

    Поэтому разница комплексных чисел:

    \(\ z_{1}-z_{2}=\left(x_{1}-x_{2}\right)+i\left(y_{1}-y_{2}\right)=(17-15)+i(-35-5)=2-40 i \)

  • Ответ

    \(\ z_{1}-z_{2}=2-40 i \) умножение

    Умножение комплексных чисел \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) и \(\ z_{2}=x_{2}+i y_{2} \)выполняется путем непосредственного рождения чисел в алгебраической форме с учетом свойства мнимой единицы \(\ i^{2}=-1 \) :

    \(\ z_{1} \cdot z_{2}=\left(x_{1}+i y_{1}\right) \cdot\left(x_{2}+i y_{2}\right)=x_{1} \cdot x_{2}+i^{2} \cdot y_{1} \cdot y_{2}+\left(x_{1} \cdot i y_{2}+x_{2} \cdot i y_{1}\right)= \)

    \(\ =\left(x_{1} \cdot x_{2}-y_{1} \cdot y_{2}\right)+i\left(x_{1} \cdot y_{2}+x_{2} \cdot y_{1}\right) \)

    ПРИМЕР

  • Задача

    Найти произведение комплексных чисел \(\ z_{1}=1-5 i \)

  • Решение.

    Комплекс комплексных чисел:

    \(\ z_{1} \cdot z_{2}=\left(x_{1} \cdot x_{2}-y_{1} \cdot y_{2}\right)+i\left(x_{1} \cdot y_{2}+x_{2} \cdot y_{1}\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5)=15-23 i \)

  • Ответ

    \(\ z_{1} \cdot z_{2}=15-23 i \) разделение

    Фактор комплексных чисел \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) и \(\ z_{2}=x_{2}+i y_{2} \) определяется путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное число с знаменателем:

    \(\ \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{x_{1}+i y_{1}}{x_{2}+i y_{2}}=\frac{\left(x_{1}+i y_{1}\right)\left(x_{2}-i y_{2}\right)}{\left(x_{2}+i y_{2}\right)\left(x_{2}-i y_{2}\right)}=\frac{x_{1} \cdot x_{2}+y_{1} \cdot y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}+i \frac{x_{2} \cdot y_{1}-x_{1} \cdot y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} \)

    ПРИМЕР

  • Задача

    Чтобы разделить число 1 на комплексное число \(\ z=1+2 i \).

  • Решение.

    Поскольку мнимая часть действительного числа 1 равна нулю, фактор равен:

    \(\ \frac{1}{1+2 i}=\frac{1 \cdot 1}{1^{2}+2^{2}}-i \frac{1 \cdot 2}{1^{2}+2^{2}}=\frac{1}{5}-i \frac{2}{5} \)

  • Ответ

    \(\ \frac{1}{1+2 i}=\frac{1}{5}-i \frac{2}{5} \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ