ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Алгебраической формой комплексного числа является запись комплексного числа \(\
z
\) в виде \(\
z=x+i y
\), где \(\
x
\) и \(\
y
\) - вещественные числа, \(\
i
\) - мнимая единица, удовлетворяющая соотношению \(\
i^
=-1
\)
Число \(\
x
\) называется вещественной частью комплексного числа \(\
z
\) и обозначается \(\
x=\operatorname{Re} z
\)
Число \(\
y
\) называется мнимой частью комплексного числа \(\
z
\) и обозначается \(\
y=\operatorname{Im} z
\)
Например:
Комплексное число \(\
z=3-2 i
\) и его присоединенное число \(\
\overline{z}=3+2 i
\)записаны в алгебраической форме.
Мнимая величина \(\
z=5 i
\)записывается в алгебраической форме.
Кроме того, в зависимости от решаемой задачи вы можете перевести комплексное число в тригонометрическую или экспоненциальную.
ПРИМЕР
Задача
Напишите число \(\
z=\frac{7-i}{4}+13
\) в алгебраической форме, найдите ее действительную и мнимую части, а также сопряженное число.
Решение.
Применяя термин деление фракций и правило сложения дробей, получим:
\(\
z=\frac{7-i}{4}+13=\frac{7}{4}+13-\frac{i}{4}=\frac{59}{4}-\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{4} i
\)
Поэтому вещественная часть комплексного числа \(\
z=\frac{5 g}{4}-\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{4} i
\) есть число \(\
x=\operatorname{Re} z=\frac{59}{4}
\) , мнимая часть - число \(\
y=\operatorname{Im} z=-\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{4}
\)
Сопряженное число: \(\
\overline{z}=\frac{59}{4}+\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{4} i
\)
Ответ
\(\
z=\frac{59}{4}-\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{4} i
\), \(\
\operatorname{Re} z=\frac{59}{4}
\), \(\
\operatorname{Im} z=-\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{4}
\), \(\
\overline{z}=\frac{59}{4}+\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{4} i
\)
Действия комплексных чисел в алгебраической форме
сравнение
Два комплексных числа \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+i y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\) называются равными, если \(\
x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=x_
\), \(\
y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=y_
\) т. e. Их действительная и мнимая части равны.
ПРИМЕР
Задача
Определить, для каких х и у два комплексных числа \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=13+y i
\) и \(\
z_
=x+5 i
\) равны.
Решение
По определению два комплексных числа равны, если их действительная и мнимая части равны, т. e. \(\
x=13
\), \(\
y=5
\).
Ответ \(\
x=13
\), \(\
y=5
\)
прибавление
Добавление комплексных чисел \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+i y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\) выполняется путем прямого суммирования вещественной и мнимой частей:
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+z_
=x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+i y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+x_
+i y_
=\left(x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+x_
\right)+i\left(y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+y_
\right)
\)
ПРИМЕР
Задача
Найти сумму комплексных чисел \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=-7+5 i
\), \(\
z_
=13-4 i
\)
Решение.
Действительной частью комплексного числа \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=-7+5 i
\) является число \(\
x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=\operatorname{Re} z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=-7
\) , мнимая часть - число \(\
y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=\mathrm{Im}
\), \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=5
\) . Реальная и мнимая части комплексного числа \(\
z_
=13-4 i
\) равны соответственно \(\
x_
=\operatorname{Re} z_
=13
\) и \(\
y_
=\operatorname{Im} z_
=-4
\) .
Следовательно, сумма комплексных чисел:
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+z_
=\left(x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+x_
\right)+i\left(y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+y_
\right)=(-7+13)+i(5-4)=6+i
\)
Ответ
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+z_
=6+i
\)
Подробнее о добавлении комплексных чисел в отдельной статье: Добавление комплексных чисел.
Вычитание
Вычитание комплексных чисел \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+i y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\) и \(\
z_
=x_
+i y_
\) выполняется путем прямого вычитания действительной и мнимой частей:
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-z_
=x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+i y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-\left(x_
+i y_
\right)=x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-x_
+\left(i y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-i y_
\right)=\left(x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-x_
\right)+i\left(y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-y_
\right)
\)
ПРИМЕР
Задача
найти разницу сложных чисел \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=17-35 i
\), \(\
z_
=15+5 i
\)
Решение.
Найдите действительную и мнимую части комплексных чисел \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=17-35 i
\), \(\
z_
=15+5 i
\) :
\(\
x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=\operatorname{Re} z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=17, x_
=\operatorname{Re} z_
=15
\)
\(\
y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=\operatorname{Im} z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=-35, y_
=\operatorname{Im} z_
=5
\)
Поэтому разница комплексных чисел:
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-z_
=\left(x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-x_
\right)+i\left(y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-y_
\right)=(17-15)+i(-35-5)=2-40 i
\)
Ответ
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-z_
=2-40 i
\)
умножение
Умножение комплексных чисел \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+i y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\) и \(\
z_
=x_
+i y_
\)выполняется путем непосредственного рождения чисел в алгебраической форме с учетом свойства мнимой единицы \(\
i^
=-1
\) :
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\cdot z_
=\left(x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+i y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right) \cdot\left(x_
+i y_
\right)=x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\cdot x_
+i^
\cdot y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\cdot y_
+\left(x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\cdot i y_
+x_
\cdot i y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right)=
\)
\(\
=\left(x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\cdot x_
-y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\cdot y_
\right)+i\left(x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\cdot y_
+x_
\cdot y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right)
\)
ПРИМЕР
Задача
Найти произведение комплексных чисел \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=1-5 i
\)
Решение.
Комплекс комплексных чисел:
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\cdot z_
=\left(x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\cdot x_
-y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\cdot y_
\right)+i\left(x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\cdot y_
+x_
\cdot y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5)=15-23 i
\)
Ответ
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\cdot z_
=15-23 i
\)
разделение
Фактор комплексных чисел \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+i y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\) и \(\
z_
=x_
+i y_
\) определяется путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное число с знаменателем:
\(\
\frac{z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}{z_
}=\frac{x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+i y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}{x_
+i y_
}=\frac{\left(x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+i y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right)\left(x_
-i y_
\right)}{\left(x_
+i y_
\right)\left(x_
-i y_
\right)}=\frac{x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\cdot x_
+y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\cdot y_
}{x_
^
+y_
^
}+i \frac{x_
\cdot y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\cdot y_
}{x_
^
+y_
^
}
\)
ПРИМЕР
Задача
Чтобы разделить число 1 на комплексное число \(\
z=1+2 i
\).
Решение.
Поскольку мнимая часть действительного числа 1 равна нулю, фактор равен:
\(\
\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{1+2 i}=\frac{1 \cdot 1}{1^
+2^
}-i \frac{1 \cdot 2}{1^
+2^
}=\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{5}-i \frac
{5}
\)
Ответ
\(\
\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{1+2 i}=\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{5}-i \frac
{5}
\)
