Алгебраическое дополнение
\(\
A_{i j}
\)элемента \(\
a_{i j}
\) вычисляется по формуле
\(\
A_{i j}=(-1)^{i+j} M_{i j}
\)
где \(\
M_{i j}
\) – минор элемента \(\
a_{i j}
\) (определитель полученный из исходной матрицы вычеркиванием i-той строки и j-того столбца).
Примеры нахождения алгебраического дополнения
ПРИМЕР 1
Задание
Найти все алгебраические дополнения элементов матрицы
\(\
A=\left(\begin{array}{cc}
&
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\\ {-1} &
\end{array}\right)
\)
Решение
Найдем все алгебраические дополнения по формуле \(\
A_{i j}=(-1)^{i+j} M_{i j}
\)
\(\
A_{11}=(-1)^{1+1} \cdot 0=0
\)
\(\
A_{12}=(-1)^{1+2} \cdot(-1)=1
\)
\(\
A_{21}=(-1)^{2+1} \cdot 3=-3
\)
\(\
A_{22}=(-1)^{2+2} \cdot 2=2
\)
Ответ
\(\
A_{11}=0 ; A_{12}=1 ; A_{21}=-3 ; A_{22}=2
\)
ПРИМЕР 2
Задание
Найти все алгебраические дополнения элементов матрицы
\(\
A=\left(\begin{array}{ccc}
& {-1} &
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\\
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
&
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
&
\\ {-2} & {-1} & {4}\end{array}\right)
\)
Решение
По формуле \(\
A_{i j}=(-1)^{i+j} M_{i j}
\), алгебраические дополнения элементов заданной матрицы равны соответственно:
\(\
A_{11}=(-1)^{1+1} \cdot\left|\begin{array}{cc}
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
&
\\ {-1} & {4}\end{array}\right|=4+2=6
\), \(\
A_{12}=(-1)^{1+2} \cdot\left|\begin{array}{cc}
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
&
\\ {-2} & {4}\end{array}\right|=-(12+4)=-16
\)
\(\
A_{13}=(-1)^{1+3} \cdot\left|\begin{array}{cc}
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
&
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\\ {-2} & {-1}\end{array}\right|=-3+2=-1
\), \(\
A_{21}=(-1)^{2+1} \cdot\left|\begin{array}{cc}{-1} &
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\\ {-1} & {4}\end{array}\right|=-(-4+3)=1
\)
\(\
A_{22}=(-1)^{2+2} \cdot\left|\begin{array}{cc}
&
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\\ {-2} & {4}\end{array}\right|=0+6=6
\), \(\
A_{23}=(-1)^{2+3} \cdot\left|\begin{array}{cc}
& {-1} \\ {-2} & {-1}\end{array}\right|=-(0-2)=2
\)
\(\
A_{31}=(-1)^{3+1} \cdot\left|\begin{array}{cc}{-1} &
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\\
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
&
\end{array}\right|=-2-3=-5
\), \(\
A_{32}=(-1)^{3+2} \cdot\left|\begin{array}{cc}
&
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\\
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
&
\end{array}\right|=-(0-9)=9
\)
\(\
A_{33}=(-1)^{3+3} \cdot\left|\begin{array}{cc}
& {-1} \\
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
&
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\end{array}\right|=0+3=3
\)
Ответ
\(\
A_{11}=6
\), \(\
A_{12}=-16
\), \(\
A_{13}=-1
\), \(\
A_{21}=1
\), \(\
A_{22}=6
\)
\(\
A_{23}=2
\), \(\
A_{31}=-5
\), \(\
A_{32}=9
\), \(\
A_{33}=3
\)