Аргумент комплексного числа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Угол
\(\
\varphi
\) (измеренный в радианах) радиус-вектора точки, который соответствует комплексному числу \(\
z
\) на комплексной плоскости, называется аргументом числа \(\
z : \varphi=\arg z
\) . В этом случае вещественные числа \(\
\mathbf{X}
\), \(\
y
\) комплексного числа \(\
z=x+i y
\) могут быть выражены через модуль \(\
\mathbf{r}
\) и аргумент \(\
\varphi : x=r \cos \varphi, y=r \sin \varphi
\).
Геометрическая интерпретация комплексного числа
Если мы рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат, то любое комплексное число \(\
z=x+i y
\) можно связать с точкой на этой плоскости с соответствующими координатами: \(\
\{x, y\}
\) и радиус-вектор \(\
\mathbf{F}
\) комплексного числа, т. е. Вектор соединяющий начало координат с точкой на плоскости, соответствующей числу.
Эта плоскость называется комплексной. Реальные числа расположены на горизонтальной (вещественной) оси, мнимые части - на вертикальной (мнимой) оси.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Модуль комплексного числа \(\
z=x+i y
\) является выражением \(\
r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\)
ПРИМЕР
Найти модуль числа \(\
z=3-i
\).
Вещественная часть комплексного числа \(\
z=3-i
\) равна \(\
x=\operatorname{Re} z=3
\) , мнимая часть равна \(\
y=\operatorname{Im} z=-1
\)
\(\
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}
\)
\(\
r=\sqrt{10}
\)
Свойства аргумента
1.\(\
\operatorname{tg} \varphi=\frac{y}{x}
\), \(\
\operatorname{ctg} \varphi=\frac{x}{y}
\), \(\
\sin \varphi=\frac{y}{r}
\), \(\
\cos \varphi=\frac{x}{r}
\)
2. Для комплексного числа \(\
z \neq 0
\) аргумент определяется с точностью до \(\
2 \pi n
\), \(\
n \in Z
\)
При \(\
z=0
\) значение аргумента не определено.
3. Основным значением аргумента является число \(\
\varphi \in(-\pi ; \pi]
\) . Для обратного числа выполнено следующее свойство: \(\
\arg \left(\frac{1}{z}\right)=-\arg z
\)
Аргумент в тригонометрической форме комплексного числа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Тригонометрическая форма комплексного числа \(\
z=x+i y
\), не равная нулю, является обозначением \(\
z=r
\), \(\
z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi)
\) где \(\
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\) - модуль комплексного числа \(\
z, \varphi=\arg z
\)
ПРИМЕР
состоит в том, чтобы найти аргумент комплексного числа \(\
z=1+\sqrt{3} i
\) и выразить его в тригонометрической форме.
Действительной частью комплексного числа \(\
z=1+\sqrt{3} i
\) является число \(\
x=\operatorname{Re} z=1
\) . Мнимая часть \(\
y=\operatorname{Im} z=\sqrt{3}
\) . Аргумент вычисляется по формуле:
\(\
\varphi=\arg z=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}=\operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}}{1}=\operatorname{arctg} \sqrt{3}=\frac{\pi}{3}
\)
Чтобы найти тригонометрическую форму написания комплексного числа, нужно также найти его модуль. Модуль комплексного числа \(\
z
\) - это число:
\(\
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2
\)
Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа:
\(\
z=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)
\)
\(\
\frac{\pi}{3}
\)
Тригонометрическая форма комплексного числа:\(\
z=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)
\)