Узнать цену работы
Статьи по теме

Аргумент комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Угол \(\ \varphi \) (измеренный в радианах) радиус-вектора точки, который соответствует комплексному числу \(\ z \) на комплексной плоскости, называется аргументом числа \(\ z : \varphi=\arg z \) . В этом случае вещественные числа \(\ \mathbf{X} \), \(\ y \) комплексного числа \(\ z=x+i y \) могут быть выражены через модуль \(\ \mathbf{r} \) и аргумент \(\ \varphi : x=r \cos \varphi, y=r \sin \varphi \).

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Если мы рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат, то любое комплексное число \(\ z=x+i y \) можно связать с точкой на этой плоскости с соответствующими координатами: \(\ \{x, y\} \) и радиус-вектор \(\ \mathbf{F} \) комплексного числа, т. е. Вектор соединяющий начало координат с точкой на плоскости, соответствующей числу.

Эта плоскость называется комплексной. Реальные числа расположены на горизонтальной (вещественной) оси, мнимые части - на вертикальной (мнимой) оси.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Модуль комплексного числа \(\ z=x+i y \) является выражением \(\ r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \)

ПРИМЕР

  • Задача

    Найти модуль числа \(\ z=3-i \).

  • Решение.

    Вещественная часть комплексного числа \(\ z=3-i \) равна \(\ x=\operatorname{Re} z=3 \) , мнимая часть равна \(\ y=\operatorname{Im} z=-1 \)

    \(\ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10} \)

  • Ответ

    \(\ r=\sqrt{10} \)

    Свойства аргумента

    1.\(\ \operatorname{tg} \varphi=\frac{y}{x} \), \(\ \operatorname{ctg} \varphi=\frac{x}{y} \), \(\ \sin \varphi=\frac{y}{r} \), \(\ \cos \varphi=\frac{x}{r} \)

    2. Для комплексного числа \(\ z \neq 0 \) аргумент определяется с точностью до \(\ 2 \pi n \), \(\ n \in Z \)

    При \(\ z=0 \) значение аргумента не определено.

    3. Основным значением аргумента является число \(\ \varphi \in(-\pi ; \pi] \) . Для обратного числа выполнено следующее свойство: \(\ \arg \left(\frac{1}{z}\right)=-\arg z \)

    Аргумент в тригонометрической форме комплексного числа

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ

    Тригонометрическая форма комплексного числа \(\ z=x+i y \), не равная нулю, является обозначением \(\ z=r \), \(\ z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi) \) где \(\ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \) - модуль комплексного числа \(\ z, \varphi=\arg z \)

    ПРИМЕР

  • Задача

    состоит в том, чтобы найти аргумент комплексного числа \(\ z=1+\sqrt{3} i \) и выразить его в тригонометрической форме.

  • Решение.

    Действительной частью комплексного числа \(\ z=1+\sqrt{3} i \) является число \(\ x=\operatorname{Re} z=1 \) . Мнимая часть \(\ y=\operatorname{Im} z=\sqrt{3} \) . Аргумент вычисляется по формуле:

    \(\ \varphi=\arg z=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}=\operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}}{1}=\operatorname{arctg} \sqrt{3}=\frac{\pi}{3} \)

    Чтобы найти тригонометрическую форму написания комплексного числа, нужно также найти его модуль. Модуль комплексного числа \(\ z \) - это число:

    \(\ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2 \)

    Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа:

    \(\ z=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right) \)

  • Ответ:

    \(\ \frac{\pi}{3} \)

    Тригонометрическая форма комплексного числа:\(\ z=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right) \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ