Асимптоты графика функции
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Асимптотой графика функции \(\
f(x)
\) называется прямая такая, что расстояние от точки \(\
(x, f(x))
\) до этой прямой стремится к нулю при движении сколь угодно далеко от начала координат.
Вертикальные и наклонные асимптоты функции
Асимптоты бывают двух видов: вертикальные и наклонные (в частности, горизонтальные).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Прямая \(\
x=a
\) называется вертикальной асимптотой графика функции \(\
y=f(x)
\) , если хотя бы один из пределов
\(\
\lim _{x \rightarrow a} f(x), \lim _{x \rightarrow a+0} f(x), \lim _{x \rightarrow a+0} f(x)
\)
равен \(\
+\infty
\) или \(\
-\infty
\)
Вертикальные асимптоты ищут в точках разрыва функции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Прямая \(\
y=k x+b
\) называется наклонной асимптотой графика функции \(\
y=f(x)
\) , если существуют конечные пределы
\(\
k=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x} ; b=\lim _{x \rightarrow \infty}[f(x)-k x]
\)
Если при этом \(\
\mathrm{k}=0
\), то \(\
y=b
\) — горизонтальная асимптота.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Найти асимптоты функции \(\
y=3 x-\frac{2}{x}
\)
Область определения этой функции \(\
D(y)=(-\infty ; 0) \cup(0 ;+\infty)
\) .При \(\
\mathrm{x}=\mathrm{O}
\) функция имеет разрыв. Проверим, является ли прямая x=0 вертикальной асимптотой.
\(\
\lim _{x \rightarrow 0+0}\left(3 x-\frac{2}{x}\right)=-\infty ; \lim _{x \rightarrow 0-0}\left(3 x-\frac{2}{x}\right)=+\infty
\)
Поскольку односторонние пределы в точке \(\
\mathrm{x}=0
\) бесконечны, то прямая \(\
\mathrm{x}=0
\) — вертикальная асимптота.
Проверим, имеет ли функция наклонную асимптоту \(\
y=k x+b
\) . Найдем следующие пределы
\(\
k=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\left(3 x-\frac{2}{x}\right)}{x}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^{2}-2}{x^{2}}=3
\)
\(\
b=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(3 x-\frac{2}{x}-3 x\right)=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(-\frac{2}{x}\right)=0
\)
Таким образом, \(\
y=3 x
\) — наклонная асимптота.
Функция \(\
y=3 x-\frac{2}{x}
\) имеет вертикальную асимптоту — \(\
x=0
\) и наклонную асимптоту — \(\
y=3 x
\)
ПРИМЕР 2
Найти асимптоты функции
\(\
y=\frac{4 x^{2}+3 x-2}{x^{2}}
\)
Область определения заданной функции \(\
D(y)=(-\infty ; 0) \cup(0 ;+\infty)
\) . Прямая \(\
\mathrm{x}=\mathrm{O}
\) — вертикальная асимптота, так как
\(\
\lim _{x \rightarrow 0 \pm 0}\left(\frac{4 x^{2}+3 x-2}{x^{2}}\right)=-\infty
\)
Покажем, что функция имеет и наклонную асимптоту, задаваемую уравнением \(\
y=k x+b
\). Найдем коэффициенты \(\
k
\) и \(\
b
\):
\(\
k=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\left(\frac{4 x^{2}+3 x-2}{x^{2}}\right)}{x}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4 x^{2}+3 x-2}{x^{3}}=0
\)
\(\
b=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{4 x^{2}+3 x-2}{x^{2}}-0 \cdot x\right)=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{4 x^{2}+3 x-2}{x^{2}}\right)=4
\)
Значит, данная функция имеет горизонтальную асимптоту \(\
y=4
\).
Функция \(\
y=\frac{4 x^{2}+3 x-2}{x^{2}}
\) имеет вертикальную асимптоту — \(\
\mathrm{x}=\mathrm{O}
\) и горизонтальную асимптоту — \(\
y=4
\)