Броуновское движение

1. Определение
2. Сущность

Определение

Под Броуновским движением понимают беспорядочное, непрекращающееся движение мельчайших твёрдых частичек в жидкости либо газе.

Основные черты Броуновского движения

При неизменных внешних условиях, может длиться бесконечно долго, не меняя своего характера и основных характеристик.

Быстрота движения броуновских частиц с разной массой различна, но совершенно не зависит от их природы.

С увеличением температуры, скорость броуновских частиц становится больше.

При увеличении вязкости жидкости (газа) ситуация обратная, чем её величина больше тем скорость частиц меньше.

Движение броуновских частиц нельзя назвать молекулярным. Их размеры и масса, хоть и кажутся очень малыми, многократно превышают таковые даже у самых крупных молекул. Можно лишь утверждать, что броуновское движение служит одним из явных доказательств самого факта существования молекул и их теплового движения.

Сущность

Физическое объяснение броуновского движения в следующем. Частицы и молекулы жидкости (газа) представляют собой замкнутую статистическую систему, находящуюся в состоянии равновесия. Из теоремы о равнораспределении получается, что на каждую из них придётся 1/2kT энергии.

Энергия 2/3kT приходящаяся на три степени свободы броуновской частицы, связанная с её поступательным движением, вынуждает центр масс частицы совершать микроскопические движения, которые наблюдаются, как её дрожание. В случае, когда частица жёсткая, ещё 3/2kT энергии придутся на степени свободы, связанные с её вращением. Поэтому частица при броуновском движении не только дрожит, но и беспорядочно вертится в пространстве.

Броуновское движение можно объяснить и по другому. Частицу заставляют двигаться малейшие колебания давления со стороны молекул среды, в которой она находится. Сила и давление меняются совершенно не предсказуемо (как по абсолютной величине, так и по направлению), в результате чего частица постоянно и хаотично движется.

Движение отдельной броуновской частицы совершенно случайный процесс. Исходим из того, что частица находится в однородной среде, с одинаковыми свойствами по всем направлениям. Примем, также что в начальный момент отсчёта времени её координата равна нулю. Вероятность (dw) смещения броуновской частицы вдоль произвольно направленной оси Ox, такой, что новая координата частицы будет заключаться в интервале от x до x+dx, равна:

где есть малое колебание координаты частицы из-за флуктуации.

Посмотрим, как будет изменяться положение частицы через определённые временные промежутки. За начало отсчёта координат возьмём точку, в которой частица была при (t=0). Пусть – это вектор характеризующий изменение перемещения частицы в промежутке между I и i-1 наблюдениями. После некоторого количества наблюдений n, частица уйдёт от начала координат в точку, радиус-вектор которой . При этом

Частица за всё время наблюдений движется по сложной, совершенно не предсказуемой ломанной.

Выясним, каким будет средний квадрат расстояния частицы после n опытов. Предполагается, что n велико.

Где является средним квадратом смещения частицы на каком-либо из шагов опыта. Он всегда один и тот же, и равняется положительной величине a2). – среднее скалярного произведения при i-м шаге на смещение при j-м шаге в различных опытах. Данные величины друг от друга не зависят, учитывая, что значения скалярного произведения в равной степени могут быть и отрицательными, и положительными, считаем равным нулю при . Тогда из (3) получаем

Где отрезок времени между последовательными наблюдениями. А время, за которое средний квадрат удаления частицы стал равняться . Частица движется от начала координат. Главное здесь то, что квадрат удаления прямо пропорционален первой степени времени. Коэффициент можно определить, как экспериментально, так и теоретически.

Броуновская частица при своём движении также вращается. Её средний угол поворота за время t равен

– коэффициент вращательной диффузии.

Для частицы сферической формы он равен

Где коэффициент вязкости.

Важно отметить, что броуновское движение это не просто занимательный физический эффект. В некоторых ситуациях оно не позволяет добиться требуемой точности измерительных приборов.

Задача 1

Найдём коэффициент в формуле . Коэффициент вязкости жидкости(b) и температуру T, до которой она нагрета, считаем известными.

Решение: Сначала нам следует записать уравнение движения частицы в проекции на ось Ox:

Обозначения введём стандартные: m – масса частицы, – случайная сила, толкающая частицу. Первый член уравнения в правой части характеризует силу трения частицы в жидкости. Всё вышенаписанное в полной мере применимо и к другим координатным осям. Умножаем правую и левую части (1.1) на x, члены преобразуем:

Уравнение (1.1) принимает вид

Теперь нужно усреднить части данного уравнения по ансамблю броуновски движущихся частиц. Важно учесть, что средняя от производной по времени будет равняться производной от средней величины.

В результате получим .

Отклонения частицы в любом направлении равновероятны, поэтому

Используя , видим, что , отсюда

Т. к. сила Fx и координаты частицы x случайны, при этом независимы друг от друга, выполняется равенство (!!!).

(1.5) сведётся к равенству

Далее из теоремы о равнораспределении

Приходим к решению

Ответ: .

Задача 2

Частицы сгущённого млечного сока, гуммигут имеют правильную сферическую форму. Радиус у них r, плотность . Необходимо узнать среднюю квадратичную скорость указанных броуновских частиц при температуре T.

Нам известно, что средняя квадратичная скорость

Для нашей частицы она вполне применима.

Массу находим стандартно. Объём частицы умножаем на её плотность

И всё это подставляем в формулу .

Ответ: .