Узнать цену работы
Статьи по теме

Частные дифференциалы

Дифференциал функции \(\ u=f(x, y, z) \), который нашли при условии, что любой из аргументов в примере будет переменной, а другие константами. Это будет называется частичным дифференциалом по отношению к переменной.

По определению, частные дифференциалы по переменным \(\ \mathbf{x} \), \(\ \mathbf{y} \) и \(\ \mathbf{z} \) будут равны

\(\ d_{x} u=u_{x}^{\prime}(x, y, z) d x \)

\(\ d_{y} u=u_{y}^{\prime}(x, y, z) d y \)

\(\ d_{z} u=u_{z}^{\prime}(x, y, z) d z \)

Вот \(\ d x=\Delta x \), \(\ d y=\Delta y \) и \(\ d z=\Delta z \) - дифференциалы, произвольные приращения независимых переменных.

ОБРАЗЕЦ

Задача: поиск частных дифференциалов функции \(\ u=\left(3 x^{2}-2 x y\right)^{z} \)

Решение: поиск частных производных по каждой из переменных:

\(\ \frac{\partial u}{\partial x}=z\left(3 x^{2}-2 x y\right)^{z-1} \cdot(6 x-2 y)=z(6 x-2 y)\left(3 x^{2}-2 x y\right)^{z-1} \)

\(\ \frac{\partial u}{\partial y}=z\left(3 x^{2}-2 x y\right)^{z-1} \cdot(-2 x)=-2 x z\left(3 x^{2}-2 x y\right)^{z-1} \)

\(\ \frac{\partial u}{\partial z}=\left(3 x^{2}-2 x y\right)^{z} \cdot \ln \left(3 x^{2}-2 x y\right) \)

То что получили, подставляем в формулы частных дифференциалов:

\(\ d_{x} u=z(6 x-2 y)\left(3 x^{2}-2 x y\right)^{z-1} d x \)

\(\ d_{y} u=-2 x z\left(3 x^{2}-2 x y\right)^{z-1} d y \)

\(\ d_{z} u=\left(3 x^{2}-2 x y\right)^{z} \ln \left(3 x^{2}-2 x y\right) d z \)

Ответ:

\(\ d_{x} u=z(6 x-2 y)\left(3 x^{2}-2 x y\right)^{z-1} d x \)

\(\ d_{y} u=-2 x z\left(3 x^{2}-2 x y\right)^{z-1} d y \)

\(\ d_{z} u=\left(3 x^{2}-2 x y\right)^{z} \ln \left(3 x^{2}-2 x y\right) d z \)

Узнать цену работы
Узнай цену
своей работы
Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
Закажи свою оригинальную работу
УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ