Частные производные
Пусть задана функция \(\ u=f(x, y, z) \) . Дайте одну из независимых переменных, например \(\ x \) приращение \(\ \Delta x \)
Частичным приращением \(\ \Delta_{x} u \) функции \(\ \mathbf{u} \) является разность
\(\ \Delta_{x} u=f(x+\Delta x, y, z)-f(x, y, z) \)
Соответственно, частичные приращения переменных \(\ y \) и \(\ z \):
\(\ \Delta_{y} u=f(x, y+\Delta y, z)-f(x, y, z) \)
\(\ \Delta_{z} u=f(x, y, z+\Delta z)-f(x, y, z) \)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Сопоставьте соотношение \(\ \frac{\Delta_{x} u}{\Delta x} \) Если тенденция стремится к определенному пределу, когда \(\ \Delta x \) стремится к нулю, то этот предел называется частной производной по переменной \(\ x \) и обозначается:
\(\ \frac{\partial u}{\partial x} \), \(\ \frac{\partial f}{\partial x} \), \(\ u_{x}^{\prime} \), \(\ f_{x}^{\prime} \)
Так,
\(\ \frac{\partial u}{\partial x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta_{x} u}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x, y, z)-f(x, y, z)}{\Delta x} \)
Частичные производные данной функции 111 определяются аналогично по переменным \(\ y \) и \(\ z \). Частичная производная по переменной \(\ y \)
\(\ \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial y}=u_{y}^{\prime}=f_{y}^{\prime}=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{\Delta_{y} u}{\Delta y}=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(x, y+\Delta y, z)-f(x, y, z)}{\Delta y} \)и переменная
\(\ \frac{\partial u}{\partial z}=\frac{\partial f}{\partial z}=u_{z}^{\prime}=f_{z}^{\prime}=\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta_{z} u}{\Delta z}=\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{f(x, y, z+\Delta z)-f(x, y, z)}{\Delta z} \)
Частичные производные нескольких переменных
Вычисление частных производных функции от нескольких независимых переменных осуществляется по тем же правилам, что и для производных функции от одной переменной. Следует иметь в виду, что при нахождении частной производной по одной из переменных все остальные переменные считаются константами.
Если мы дифференцируем, например, первую частную производную \(\ \frac{\partial u}{\partial x} \) данной функции по переменной \(\ x \) еще раз по этой переменной, то мы получим частную производную второго порядка, взятую дважды по \(\ x \), т. е. производное \(\ \frac{\partial^
u}{\partial x^ }=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right) \)Аналогично, мы получаем еще две производные по переменным \(\ y \) и \(\ z \)
\(\ \frac{\partial^
u}{\partial y^ }=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right) \)\(\ \frac{\partial^
u}{\partial z^ }=\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial u}{\partial z}\right) \)Если мы дифференцируем первую производную \(\ \frac{\partial u}{\partial x} \) , взятую из переменной \(\ \mathbf{x} \) по переменной \(\ \mathbf{y} \), то получим смешанную производную
\(\ \frac{\partial^
u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right) \)Другие смешанные производные вводятся таким же образом:
\(\ \frac{\partial^
u}{\partial x \partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right) \), \(\ \frac{\partial^ u}{\partial y \partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right) \), \(\ \frac{\partial^ u}{\partial z \partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial z}\right) \), \(\ \frac{\partial^ u}{\partial z \partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial z}\right) \)Известно, что значение смешанной производной не зависит от порядка
дифференцирования, т. е.\(\ \frac{\partial^
u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^ u}{\partial y \partial x}, \frac{\partial^ u}{\partial x \partial z}=\frac{\partial^ u}{\partial z \partial x}, \frac{\partial^ u}{\partial y \partial z}=\frac{\partial^ u}{\partial z \partial y} \)Примеры вычисления частных производных
ПРИМЕР 1
Задача
Найдите частные производные функции \(\ u=x^
+3 x y+4 y^ \) по всем переменным.Решение. Найдем частную производную по переменной \(\ \mathbf{x} \) и предположим, что другая независимая переменная \(\ \mathbf{y} \) является постоянным значением. т.е.
\(\ \frac{\partial u}{\partial x}=\left(x^
+3 x y+4 y^ \right)_{x}^{\prime}=\left(x^ \right)_{x}^{\prime}+(3 x y)_{x}^{\prime}+\left(4 y^ \right)_{x}^{\prime}=2 x+3 y \cdot(x)_{x}^{\prime}+0=2 x+3 y \cdot 1=2 x+3 y \)Аналогично, производная по \(\ y \)
\(\ \frac{\partial u}{\partial y}=\left(x^
+3 x y+4 y^ \right)_{y}^{\prime}=\left(x^ \right)_{y}^{\prime}+(3 x y)_{y}^{\prime}+\left(4 y^ \right)_{y}^{\prime}=0+3 x \cdot(y)_{y}^{\prime}+4\left(y^ \right)_{y}^{\prime}=3 x \cdot 1+4 \cdot 2 y=3 x+8 y \)Ответ \(\ u_{x}^{\prime}=2 x+3 y, u_{y}^{\prime}=3 x+8 y \)
ПРИМЕР 2
Задача Найти значения частных производных функции \(\ u=\frac{x}{y}+3 \ln (x y)+4 y^
-z^ \) в точке \(\ M(1 ; 1 ; 1) \)Решение
Мы находим частные производные по каждой из переменных, считая все остальные переменные постоянными:
\(\ u_{x}^{\prime}=\frac
{y} \cdot 1+3 \cdot \frac {x y} \cdot y+0-0=\frac {y}+\frac {x} \)\(\ u_{y}^{\prime}=x \cdot\left(-\frac
{y^ }\right)+3 \cdot \frac {x y} \cdot x+8 y-0=\frac {y}-\frac{x}{y^ }+8 y \)\(\ u_{z}^{\prime}=0+0+0-3 z^
=-3 z^ \)Вычисляем значения полученных производных в данной точке:
\(\ u_{x}^{\prime}(M)=\frac
+\frac =1+3=4 \)\(\ u_{y}^{\prime}(M)=\frac
-\frac {1^ }+8 \cdot 1=3-1+8=10 \)\(\ u_{z}^{\prime}(M)=-3 \cdot 1^
=-3 \)Ответ \(\ u_{x}^{\prime}(M)=4 \); \(\ u_{y}^{\prime}(M)=10 \); \(\ u_{z}^{\prime}(M)=-3 \)
