Частные производные

Пусть задана функция \(\ u=f(x, y, z) \) . Дайте одну из независимых переменных, например \(\ x \) приращение \(\ \Delta x \)

Частичным приращением \(\ \Delta_{x} u \) функции \(\ \mathbf{u} \) является разность

\(\ \Delta_{x} u=f(x+\Delta x, y, z)-f(x, y, z) \)

Соответственно, частичные приращения переменных \(\ y \) и \(\ z \):

\(\ \Delta_{y} u=f(x, y+\Delta y, z)-f(x, y, z) \)

\(\ \Delta_{z} u=f(x, y, z+\Delta z)-f(x, y, z) \)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Сопоставьте соотношение \(\ \frac{\Delta_{x} u}{\Delta x} \) Если тенденция стремится к определенному пределу, когда \(\ \Delta x \) стремится к нулю, то этот предел называется частной производной по переменной \(\ x \) и обозначается:

\(\ \frac{\partial u}{\partial x} \), \(\ \frac{\partial f}{\partial x} \), \(\ u_{x}^{\prime} \), \(\ f_{x}^{\prime} \)

Так,

\(\ \frac{\partial u}{\partial x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta_{x} u}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x, y, z)-f(x, y, z)}{\Delta x} \)

Частичные производные данной функции 111 определяются аналогично по переменным \(\ y \) и \(\ z \). Частичная производная по переменной \(\ y \)

и переменная

\(\ \frac{\partial u}{\partial z}=\frac{\partial f}{\partial z}=u_{z}^{\prime}=f_{z}^{\prime}=\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta_{z} u}{\Delta z}=\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{f(x, y, z+\Delta z)-f(x, y, z)}{\Delta z} \)

Частичные производные нескольких переменных

Вычисление частных производных функции от нескольких независимых переменных осуществляется по тем же правилам, что и для производных функции от одной переменной. Следует иметь в виду, что при нахождении частной производной по одной из переменных все остальные переменные считаются константами.

Если мы дифференцируем, например, первую частную производную \(\ \frac{\partial u}{\partial x} \) данной функции по переменной \(\ x \) еще раз по этой переменной, то мы получим частную производную второго порядка, взятую дважды по \(\ x \), т. е. производное \(\ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right) \)

Аналогично, мы получаем еще две производные по переменным \(\ y \) и \(\ z \)

\(\ \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right) \)

\(\ \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial u}{\partial z}\right) \)

Если мы дифференцируем первую производную \(\ \frac{\partial u}{\partial x} \) , взятую из переменной \(\ \mathbf{x} \) по переменной \(\ \mathbf{y} \), то получим смешанную производную

\(\ \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right) \)

Другие смешанные производные вводятся таким же образом:

\(\ \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right) \), \(\ \frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right) \), \(\ \frac{\partial^{2} u}{\partial z \partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial z}\right) \), \(\ \frac{\partial^{2} u}{\partial z \partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial z}\right) \)

Известно, что значение смешанной производной не зависит от порядка

\(\ \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x}, \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial z}=\frac{\partial^{2} u}{\partial z \partial x}, \frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial z}=\frac{\partial^{2} u}{\partial z \partial y} \)

Примеры вычисления частных производных

ПРИМЕР 1

Задача

Найдите частные производные функции \(\ u=x^{2}+3 x y+4 y^{2} \) по всем переменным.

Решение. Найдем частную производную по переменной \(\ \mathbf{x} \) и предположим, что другая независимая переменная \(\ \mathbf{y} \) является постоянным значением. т.е.

\(\ \frac{\partial u}{\partial x}=\left(x^{2}+3 x y+4 y^{2}\right)_{x}^{\prime}=\left(x^{2}\right)_{x}^{\prime}+(3 x y)_{x}^{\prime}+\left(4 y^{2}\right)_{x}^{\prime}=2 x+3 y \cdot(x)_{x}^{\prime}+0=2 x+3 y \cdot 1=2 x+3 y \)

Аналогично, производная по \(\ y \)

\(\ \frac{\partial u}{\partial y}=\left(x^{2}+3 x y+4 y^{2}\right)_{y}^{\prime}=\left(x^{2}\right)_{y}^{\prime}+(3 x y)_{y}^{\prime}+\left(4 y^{2}\right)_{y}^{\prime}=0+3 x \cdot(y)_{y}^{\prime}+4\left(y^{2}\right)_{y}^{\prime}=3 x \cdot 1+4 \cdot 2 y=3 x+8 y \)

Ответ \(\ u_{x}^{\prime}=2 x+3 y, u_{y}^{\prime}=3 x+8 y \)

ПРИМЕР 2

Задача Найти значения частных производных функции \(\ u=\frac{x}{y}+3 \ln (x y)+4 y^{2}-z^{3} \) в точке \(\ M(1 ; 1 ; 1) \)

Решение

Мы находим частные производные по каждой из переменных, считая все остальные переменные постоянными:

\(\ u_{x}^{\prime}=\frac{1}{y} \cdot 1+3 \cdot \frac{1}{x y} \cdot y+0-0=\frac{1}{y}+\frac{3}{x} \)

\(\ u_{y}^{\prime}=x \cdot\left(-\frac{1}{y^{2}}\right)+3 \cdot \frac{1}{x y} \cdot x+8 y-0=\frac{3}{y}-\frac{x}{y^{2}}+8 y \)

\(\ u_{z}^{\prime}=0+0+0-3 z^{2}=-3 z^{2} \)

Вычисляем значения полученных производных в данной точке:

\(\ u_{x}^{\prime}(M)=\frac{1}{1}+\frac{3}{1}=1+3=4 \)

\(\ u_{y}^{\prime}(M)=\frac{3}{1}-\frac{1}{1^{2}}+8 \cdot 1=3-1+8=10 \)

\(\ u_{z}^{\prime}(M)=-3 \cdot 1^{2}=-3 \)

Ответ \(\ u_{x}^{\prime}(M)=4 \); \(\ u_{y}^{\prime}(M)=10 \); \(\ u_{z}^{\prime}(M)=-3 \)