Узнать цену работы
Статьи по теме

Числовая последовательность и ее предел

Определение числовых последовательностей

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Численная последовательность представляет собой бесконечное множество чисел \(\ x_{1,}, x_{2}, \ldots, x_{n} \) , следующих один за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с которым \(\ x_{n} \) определяется как функция целочисленного аргумента n, т. е. \(\ x_{n}=f(n) \)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Число \(\ z \) называется пределом последовательности \(\ \left\{x_{n}\right\} \) , если для любого числа \(\ \varepsilon>0 \) существует число \(\ n_{0}=n_{0}(\varepsilon) \) такое, что с \(\ n \geq n_{0} \) выполняется неравенство \(\ \left|x_{n}-a\right|<\varepsilon \)

Если число а является пределом последовательности \(\ \left\{x_{n}\right\} \) , то оно обозначается как \(\ \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a= \) или \(\ x_{n} \rightarrow a_{\mathrm{c} n} \rightarrow \infty \) с \(\ n \rightarrow \infty \) или \(\ x_{n} \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} a \)

Теоремы последовательности чисел

Теорема 1

Числовая последовательность не может иметь более одного предела.

Последовательность с пределом называется сходящейся. В противном случае последовательность чисел называется расходящейся.

Для сходящихся числовых последовательностей справедливы следующие теоремы.

Теорема 2

Предел суммы / разности двух последовательностей равен сумме / разности пределов от каждого из них, если они существуют:

\(\ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n} \pm y_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} \pm \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n} \)

  • Пример:

    \(\ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}+\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}=0+0=0 \)

    Теорема 3

    Предел произведения двух последовательностей равен произведению пределов от каждого из них, если существуют пределы факторов:

    \(\ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n} \cdot y_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n} \)

  • Пример:

    \(\ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2}{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(2 \cdot \frac{1}{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} 2+\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=2+0=2 \)

    Теорема

    Предел отношения двух последовательностей равен отношению пределов от каждого из них, если эти пределы существуют, а предел знаменателя не равен нулю:

    \(\ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=\frac{\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}}{\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}}, \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n} \neq 0 \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ