Числовая последовательность и ее предел
Определение числовых последовательностей
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Численная последовательность представляет собой бесконечное множество чисел \(\
x_{1,}, x_{2}, \ldots, x_{n}
\) , следующих один за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с которым \(\
x_{n}
\) определяется как функция целочисленного аргумента n, т. е. \(\
x_{n}=f(n)
\)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Число \(\
z
\) называется пределом последовательности \(\
\left\{x_{n}\right\}
\) , если для любого числа \(\
\varepsilon>0
\) существует число \(\
n_{0}=n_{0}(\varepsilon)
\) такое, что с \(\
n \geq n_{0}
\) выполняется неравенство \(\
\left|x_{n}-a\right|<\varepsilon
\)
Если число а является пределом последовательности \(\
\left\{x_{n}\right\}
\) , то оно обозначается как \(\
\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a=
\) или \(\
x_{n} \rightarrow a_{\mathrm{c} n} \rightarrow \infty
\) с \(\
n \rightarrow \infty
\) или \(\
x_{n} \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} a
\)
Теоремы последовательности чисел
Теорема 1
Числовая последовательность не может иметь более одного предела.
Последовательность с пределом называется сходящейся. В противном случае последовательность чисел называется расходящейся.
Для сходящихся числовых последовательностей справедливы следующие теоремы.
Теорема 2
Предел суммы / разности двух последовательностей равен сумме / разности пределов от каждого из них, если они существуют:
\(\
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n} \pm y_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} \pm \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}
\)
\(\
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}+\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}=0+0=0
\)
Теорема 3
Предел произведения двух последовательностей равен произведению пределов от каждого из них, если существуют пределы факторов:
\(\
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n} \cdot y_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}
\)
\(\
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2}{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(2 \cdot \frac{1}{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} 2+\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=2+0=2
\)
Теорема
Предел отношения двух последовательностей равен отношению пределов от каждого из них, если эти пределы существуют, а предел знаменателя не равен нулю:
\(\
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=\frac{\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}}{\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}}, \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n} \neq 0
\)