Что такое натуральное число
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЕСТЕСТВЕННОГО НОМЕРА
Определение
Натуральные числа - это числа, которые используются при подсчете или для обозначения порядкового номера объекта среди однородных объектов.
Например.
Натуральные числа будут:2, 37, 145, 1059, 24441
Натуральные числа, записанные в порядке возрастания, образуют числовой ряд. Он начинается с наименьшего натурального числа 1. Обозначается множество всех натуральных чисел \(\
N=\{1,2,3, \dots n, \ldots\}
\). Это бесконечно, так как нет наибольшего натурального числа. Если мы добавим единицу к любому натуральному числу, мы получим натуральное число, следующее за этим числом.
Пример:
\(\
-89 ; \quad 7 ;\quad \frac{4}{3} ;\quad 34 ;\quad 2 ;\quad 11 ;\quad 3,2 ;\quad \sqrt[3]{129} ;\quad \sqrt{5}
\)
\(\
7 ;\quad 34 ;\quad 2 ;\quad 11
\)
На множестве натуральных чисел вводятся две основные арифметические операции - сложение и умножение. Символы «+» и «•» (или «×») используются для обозначения этих операций соответственно.
СОСТАВ ЕСТЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
Каждой паре натуральных чисел n и m присваивается натуральное число s, называемое суммой. Сумма s состоит из столько единиц, сколько есть в числах n и m. Говорят, что число s получается путем сложения чисел n и m, и они пишут
\(\
n+m=s
\)
Числа n и m называются с условиями. Операция сложения натуральных чисел обладает следующими свойствами:
Пример
Чтобы вычислить вторую сумму, чтобы упростить вычисления, мы сначала применяем ассоциативность сложения к ней:
\(\
27+(3+72)=(27+3)+72=30+72=102
\)
УМНОЖЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Каждой упорядоченной паре натуральных чисел n и m присваивается натуральное число r, называемое их произведением. Часть r содержит столько единиц, сколько есть в числе n, взятых столько раз, сколько единиц в числе m. Говорят, что число r получается в результате умножения чисел, n и m они пишут
\(\
n \cdot m=r
\) или \(\
n \times m=r
\) же
Числа n и m называются множителями или коэффициентами.
Умножение натуральных чисел имеет следующие свойства:
Пример
\(\
12 \cdot 3=12+12+12=36
\)
Ко второму произведению применим свойство ассоциативности умножения:
\(\
7 \cdot 25 \cdot 4=7 \cdot(25 \cdot 4)=7 \cdot 100=700
\)
Операция сложения и умножения натуральных чисел связаны законом дистрибутивного умножения относительно сложения:
\(\
(n+m) \cdot k=n \cdot k+m \cdot k
\)
Сумма и произведение любых двух натуральных чисел всегда является натуральным числом, поэтому множество всех натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения.
Также на множестве натуральных чисел можно вводить операции вычитания и деления, как операции, обратные операциям сложения и умножения соответственно. Но эти операции не будут однозначно определены для любой пары натуральных чисел.
Свойство ассоциативности умножения натуральных чисел позволяет нам ввести понятие натуральной степени натурального числа: n-я степень натурального числа m является натуральным числом k, полученным умножением числа m на себя n раз:
\(\
k=\underbrace{m \cdot m \cdot \ldots \cdot m}_{n \;{сомножителей }}
\)
Для обозначения n-й степени числа m обычно используется обозначение: \(\
m^{n}
\) в котором число называется основанием степени, а число n - показателем степени.
Пример
\(\
2^{5}=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=32
\)