Узнать цену работы
Статьи по теме

Деление комплексных чисел

Существует три формы написания сложных чисел: алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные. Рассмотрим разбиение комплексных чисел в каждой из форм.

Алгебраическое разделение

Фактор комплексных чисел \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) и \(\ z_{2}=x_{2}+i y_{2} \) определяется путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное число с знаменателем:

\(\ \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{x_{1}+i y_{1}}{x_{2}+i y_{2}}=\frac{\left(x_{1}+i y_{1}\right)\left(x_{2}-i y_{2}\right)}{\left(x_{2}+i y_{2}\right)\left(x_{2}-i y_{2}\right)}=\frac{x_{1} \cdot x_{2}+y_{1} \cdot y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}+i \frac{x_{2} \cdot y_{1}-x_{1} \cdot y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} \)

ПРИМЕР

  • Задача

    Разделить номер \(\ z_{1}=-1+3 i \) по номеру \(\ z_{2}=1+2 i \)

  • Решение.

    Используя формулу для нахождения частного, мы получаем:

    \(\ z_{1} \div z_{2}=\frac{-1+3 i}{1+2 i}=\frac{(-1+3 i)(1-2 i)}{(1+2 i)(1-2 i)}=\frac{-1 \cdot 1+3 \cdot 2}{1^{2}+2^{2}}+i \frac{3 \cdot 1+(-1) \cdot(-2)}{1^{2}+2^{2}}= \)

    \(\ =\frac{5}{5}+i \frac{5}{5}=1+i \)

  • Ответ

    \(\ z_{1} \div z_{2}=1+i \)

    Тригонометрическое разделение

    Фактор комплексных чисел в тригонометрической форме выполняется по формуле:

    \(\ z_{1} \div z_{2}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left(\cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)\right) \)

    Таким образом, чтобы разделить два комплексных числа, необходимо разделить их модули и найти разность аргументов.

    ПРИМЕР

  • Задача

    Чтобы найти частное число комплексных чисел \(\ z_{1}=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right) \) и \(\ z_{2}=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right) \)

  • Решение

    фактор-комплексных чисел:

    \(\ z_{1} \div z_{2}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left(\cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)\right)=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\left(\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right)= \)

    \(\ =1 \cdot\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)=\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4} \)

  • Ответ

    \(\ z_{1} \div z_{2}=\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4} \)

    Отдел в экспоненциальной форме

    Фактор комплексных чисел в экспоненциальной форме выполняется по формуле:

    \(\ z_{1} \div z_{2}=\frac{r_{1} \cdot e^{i \varphi_{1}}}{r_{2} \cdot e^{i \varphi_{2}}}=\frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i \varphi_{1}-i \varphi_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)} \)

    Те. для того чтобы разделить два комплексных числа в экспоненциальной форме, нужно найти частное их модулей, а в экспоненте экспонента - найти разность их аргументов.

    ПРИМЕР

  • Задача

    Найти частное число комплексных чисел \(\ z_{1}=\sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{2} i} \) и \(\ z_{2}=2 e^{-\frac{\pi}{4} i} \)

  • Решение

    фактор-комплексных чисел:

    \(\ z_{1} \div z_{2}=\frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{i\left(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{-\frac{\pi}{4} i} \)

  • Ответ

    \(\ z_{1} \div z_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{-\frac{\pi}{4} i} \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ