Существует три формы написания сложных чисел: алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные. Рассмотрим разбиение комплексных чисел в каждой из форм.
Алгебраическое разделение
Фактор комплексных чисел \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+i y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\) и \(\
z_
=x_
+i y_
\) определяется путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное число с знаменателем:
\(\
\frac{z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}{z_
}=\frac{x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+i y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}{x_
+i y_
}=\frac{\left(x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+i y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right)\left(x_
-i y_
\right)}{\left(x_
+i y_
\right)\left(x_
-i y_
\right)}=\frac{x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\cdot x_
+y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\cdot y_
}{x_
^
+y_
^
}+i \frac{x_
\cdot y_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\cdot y_
}{x_
^
+y_
^
}
\)
ПРИМЕР
Задача
Разделить номер \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=-1+3 i
\) по номеру \(\
z_
=1+2 i
\)
Решение.
Используя формулу для нахождения частного, мы получаем:
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\div z_
=\frac{-1+3 i}{1+2 i}=\frac{(-1+3 i)(1-2 i)}{(1+2 i)(1-2 i)}=\frac{-1 \cdot 1+3 \cdot 2}{1^
+2^
}+i \frac{3 \cdot 1+(-1) \cdot(-2)}{1^
+2^
}=
\)
\(\
=\frac{5}{5}+i \frac{5}{5}=1+i
\)
Ответ
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\div z_
=1+i
\)
Тригонометрическое разделение
Фактор комплексных чисел в тригонометрической форме выполняется по формуле:
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\div z_
=\frac{r_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}{r_
}\left(\cos \left(\varphi_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-\varphi_
\right)+i \sin \left(\varphi_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-\varphi_
\right)\right)
\)
Таким образом, чтобы разделить два комплексных числа, необходимо разделить их модули и найти разность аргументов.
ПРИМЕР
Задача
Чтобы найти частное число комплексных чисел \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=\sqrt
\left(\cos \frac{\pi}
+i \sin \frac{\pi}
\right)
\) и \(\
z_
=\sqrt
\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)
\)
Решение
фактор-комплексных чисел:
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\div z_
=\frac{r_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}{r_
}\left(\cos \left(\varphi_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-\varphi_
\right)+i \sin \left(\varphi_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-\varphi_
\right)\right)=\frac{\sqrt
}{\sqrt
}\left(\cos \left(\frac{\pi}
-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}
-\frac{\pi}{4}\right)\right)=
\)
\(\
=1 \cdot\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)=\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}
\)
Ответ
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\div z_
=\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}
\)
Отдел в экспоненциальной форме
Фактор комплексных чисел в экспоненциальной форме выполняется по формуле:
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\div z_
=\frac{r_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\cdot e^{i \varphi_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}}{r_
\cdot e^{i \varphi_
}}=\frac{r_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}{r_
} \cdot e^{i \varphi_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-i \varphi_
}=\frac{r_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}{r_
} \cdot e^{i\left(\varphi_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-\varphi_
\right)}
\)
Те. для того чтобы разделить два комплексных числа в экспоненциальной форме, нужно найти частное их модулей, а в экспоненте экспонента - найти разность их аргументов.
ПРИМЕР
Задача
Найти частное число комплексных чисел \(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=\sqrt
e^{-\frac{\pi}
i}
\) и \(\
z_
=2 e^{-\frac{\pi}{4} i}
\)
Решение
фактор-комплексных чисел:
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\div z_
=\frac{r_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}{r_
} \cdot e^{i\left(\varphi_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-\varphi_
\right)}=\frac{\sqrt
}
\cdot e^{i\left(-\frac{\pi}
+\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{\sqrt
}
\cdot e^{-\frac{\pi}{4} i}
\)
Ответ
\(\
z_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\div z_
=\frac{\sqrt
}
\cdot e^{-\frac{\pi}{4} i}
\)
