Деление комплексных чисел
Существует три формы написания сложных чисел: алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные. Рассмотрим разбиение комплексных чисел в каждой из форм.
Алгебраическое разделение
Фактор комплексных чисел \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) и \(\ z_{2}=x_{2}+i y_{2} \) определяется путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное число с знаменателем:
\(\ \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{x_{1}+i y_{1}}{x_{2}+i y_{2}}=\frac{\left(x_{1}+i y_{1}\right)\left(x_{2}-i y_{2}\right)}{\left(x_{2}+i y_{2}\right)\left(x_{2}-i y_{2}\right)}=\frac{x_{1} \cdot x_{2}+y_{1} \cdot y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}+i \frac{x_{2} \cdot y_{1}-x_{1} \cdot y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} \)
ПРИМЕР
Разделить номер \(\
z_{1}=-1+3 i
\) по номеру \(\
z_{2}=1+2 i
\)
Используя формулу для нахождения частного, мы получаем:
\(\
z_{1} \div z_{2}=\frac{-1+3 i}{1+2 i}=\frac{(-1+3 i)(1-2 i)}{(1+2 i)(1-2 i)}=\frac{-1 \cdot 1+3 \cdot 2}{1^{2}+2^{2}}+i \frac{3 \cdot 1+(-1) \cdot(-2)}{1^{2}+2^{2}}=
\)
\(\
=\frac{5}{5}+i \frac{5}{5}=1+i
\)
\(\
z_{1} \div z_{2}=1+i
\)
Тригонометрическое разделение
Фактор комплексных чисел в тригонометрической форме выполняется по формуле:
\(\
z_{1} \div z_{2}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left(\cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)\right)
\)
Таким образом, чтобы разделить два комплексных числа, необходимо разделить их модули и найти разность аргументов.
ПРИМЕР
Чтобы найти частное число комплексных чисел \(\
z_{1}=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right)
\) и \(\
z_{2}=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)
\)
фактор-комплексных чисел:
\(\
z_{1} \div z_{2}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left(\cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+i \sin \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)\right)=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\left(\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right)=
\)
\(\
=1 \cdot\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)=\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}
\)
\(\
z_{1} \div z_{2}=\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}
\)
Отдел в экспоненциальной форме
Фактор комплексных чисел в экспоненциальной форме выполняется по формуле:
\(\
z_{1} \div z_{2}=\frac{r_{1} \cdot e^{i \varphi_{1}}}{r_{2} \cdot e^{i \varphi_{2}}}=\frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i \varphi_{1}-i \varphi_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)}
\)
Те. для того чтобы разделить два комплексных числа в экспоненциальной форме, нужно найти частное их модулей, а в экспоненте экспонента - найти разность их аргументов.
ПРИМЕР
Найти частное число комплексных чисел \(\
z_{1}=\sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{2} i}
\) и \(\
z_{2}=2 e^{-\frac{\pi}{4} i}
\)
фактор-комплексных чисел:
\(\
z_{1} \div z_{2}=\frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{i\left(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{-\frac{\pi}{4} i}
\)
\(\
z_{1} \div z_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{-\frac{\pi}{4} i}
\)