Узнать цену работы
Статьи по теме

Дифференциальные уравнения первого порядка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида \(\ F\left(x ; y ; y^{\prime}\right)=0 \) (1)

Нормальная и дифференциальная формы записи ДУ первого порядка

Дифференциальное уравнение вида (1) называется уравнением, записанным в нормальной форме, если оно разрешено относительно производной: \(\ y^{\prime}=f(x ; y) \)

или \(\ \frac{d y}{d x}=f(x ; y) \)

Дифференциальной формой уравнение (1) называется следующее его представление: \(\ P(x ; y) d x+Q(x ; y) d y=0 \)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Функция \(\ y=y(x) \) называется общим решением дифференциального уравнения (1), если при подстановке ее в указанное уравнение имеет место тождество \(\ F\left(x ; y(x) ; y^{\prime}(x)\right) \equiv 0 \)

Решение такого уравнения можно искать также в виде \(\ x=x(y) \)

Интегральной кривой дифференциального уравнения называется график решения дифференциального уравнения, то есть функции \(\ y=y(x) \)

В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет бесконечно много решений (в зависимости от значения произвольной постоянной C). Для выделения единственного решения, необходимо задать начальные (так называемые дополнительные) условия.

Задача отыскания решения \(\ y=y(x) \) обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (1), которое удовлетворяет начальному условию \(\ y\left(x_

Так и не нашли ответ на вопрос?
Просто напишите, с чем нужна помощь
Мне нужна помощь
\right)=y_
Так и не нашли ответ на вопрос?
Просто напишите, с чем нужна помощь
Мне нужна помощь
\), называется задачей Коши.

Решение задачи Коши называется частным решением уравнения (1)

Примеры решения задач

ПРИМЕР

  • Задание

    Проверить, что функция \(\ y(x)=\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {x}+C x(x \neq 0) \) является решением дифференциального уравнения первого порядка \(\ y^{\prime}=\frac{y}{x}-\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    {x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \)

  • Решение

    Подставим указанное решение в заданное дифференциальное уравнение: \(\ \left(\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {x}+C x\right)^{\prime}=\frac{\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {x}+C x}{x}-\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    {x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \)

    Находим производную и упрощаем выражение: \(\ -\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }+C=\frac{1+C x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }-\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    {x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \frac{-1+C x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=\frac{1+C x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -2}{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \)

    или \(\ \frac{C x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -1}{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=\frac{C x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -1}{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \)

    Что и требовалось показать.

    ПРИМЕР

  • Задание

    Найти решение задачи Коши \(\ y^{\prime}=\frac{y}{x} \) при начальных условиях \(\ y(1)=1 \)

  • Решение

    Заданное дифференциальное уравнение первого порядка является уравнением с разделяющимися переменными, разделим их: \(\ y^{\prime}=\frac{y}{x} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x} \Rightarrow \frac{d y}{y}=\frac{d x}{x} \)

    Общий интеграл уравнения \(\ \int \frac{d y}{y}=\int \frac{d x}{x} \)

    Тогда \(\ \ln |y|=\ln |x|+\ln |C| \)

    или \(\ \ln |y|=\ln |C x| \)

    Потенцируя обе части равенства, окончательно будем иметь

    \(\ y=C x \)

    Значение константы интегрирования \(\ C \) найдем из начального условия \(\ y(1)=1 \) : \(\ y(1)=C \cdot 1=1 \Rightarrow C=1 \)

    Таким образом, частное решение \(\ y=x \)

    Ответ \(\ y=x \)

  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы