Узнать цену работы
Статьи по теме

Дифференциальные уравнения второго порядка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида \(\ F\left(x ; y ; y^{\prime} ; y^{\prime \prime}\right)=0 \)

ПРИМЕР

  • Задание

    Найти общий интеграл дифференциального уравнения второго порядка \(\ y^{\prime \prime}+x=0 \)

  • Решение

    Перепишем заданное уравнение в виде: \(\ y^{\prime \prime}=-x \)

    Дважды проинтегрируем. После первого интегрирования будем иметь: \(\ y^{\prime}=-\int x d x=-\frac{x^{2}}{2}+C_{1} \)

    И окончательно \(\ y(x)=\int\left(-\frac{x^{2}}{2}+C_{1}\right) d x=-\frac{1}{2} \int x^{2} d x+C_{1} \int d x=-\frac{x^{3}}{6}+C_{1} x+C_{2} \)

  • Ответ \(\ y(x)=-\frac{x^{3}}{6}+C_{1} x+C_{2} \)

    Однородное и неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

    Однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение \(\ y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0 \)

    Здесь \(\ p \), \(\ q \) – некоторые числа. Это уравнение является однородным по правой части, поскольку в теории дифференциальных уравнений есть еще однородные уравнения по аргументу.

    Неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение \(\ y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=f(x) \)

    Функция \(\ f(x) \) ,стоящая в правой части равенства, в общем случае отлична от нуля.

    ПРИМЕР

  • Задание

    Найти решение дифференциального уравнения \(\ y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=0 \)

  • Решение

    Составим характеристическое уравнение, соответствующее заданному дифференциальному уравнению: \(\ k^{2}+k-6=0 \)

    Его корни (их можно найти, например, по теореме Виета) \(\ k_{1}=2, k_{2}=-3 \)

    Полученные корни различны и действительны, тогда искомое общее решение \(\ y(x)=C_{1} e^{k_{1} x}+C_{2} e^{k_{2} x}=C_{1} e^{2 x}+C_{2} e^{-3 x} \)

    Замечание. Будет верным, если решение записать и в виде \(\ y(x)=C_{1} e^{-3 x}+C_{2} e^{2 x} \)

    Замечание. Придавая константам интегрирования \(\ \mathrm{Cl} \) и \(\ \mathrm{C2} \) различные значения, можно получить в результате бесконечно множество частных решений.

    Замечание. Константы \(\ \mathrm{Cl} \) и \(\ \mathrm{C2} \) находятся их начальных условий.

  • Ответ \(\ y(x)=C_{1} e^{2 x}+C_{2} e^{-3 x} \)
  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ