Дифференциальные уравнения второго порядка
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида \(\ F\left(x ; y ; y^{\prime} ; y^{\prime \prime}\right)=0 \)
ПРИМЕР
Найти общий интеграл дифференциального уравнения второго порядка \(\
y^{\prime \prime}+x=0
\)
Перепишем заданное уравнение в виде:
\(\
y^{\prime \prime}=-x
\)
Дважды проинтегрируем. После первого интегрирования будем иметь:
\(\
y^{\prime}=-\int x d x=-\frac{x^{2}}{2}+C_{1}
\)
И окончательно
\(\
y(x)=\int\left(-\frac{x^{2}}{2}+C_{1}\right) d x=-\frac{1}{2} \int x^{2} d x+C_{1} \int d x=-\frac{x^{3}}{6}+C_{1} x+C_{2}
\)
Однородное и неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка Однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение
\(\
y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0
\)
Здесь \(\
p
\), \(\
q
\) – некоторые числа. Это уравнение является однородным по правой части, поскольку в теории дифференциальных уравнений есть еще однородные уравнения по аргументу.
Неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение
\(\
y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=f(x)
\)
Функция \(\
f(x)
\) ,стоящая в правой части равенства, в общем случае отлична от нуля.
ПРИМЕР
Найти решение дифференциального уравнения \(\
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=0
\)
Составим характеристическое уравнение, соответствующее заданному дифференциальному уравнению:
\(\
k^{2}+k-6=0
\)
Его корни (их можно найти, например, по теореме Виета)
\(\
k_{1}=2, k_{2}=-3
\)
Полученные корни различны и действительны, тогда искомое общее решение
\(\
y(x)=C_{1} e^{k_{1} x}+C_{2} e^{k_{2} x}=C_{1} e^{2 x}+C_{2} e^{-3 x}
\)
Замечание. Будет верным, если решение записать и в виде
\(\
y(x)=C_{1} e^{-3 x}+C_{2} e^{2 x}
\)
Замечание. Придавая константам интегрирования \(\
\mathrm{Cl}
\) и \(\
\mathrm{C2}
\) различные значения, можно получить в результате бесконечно множество частных решений.
Замечание. Константы \(\
\mathrm{Cl}
\) и \(\
\mathrm{C2}
\) находятся их начальных условий.