Узнать цену работы
Статьи по теме

Экстремумы функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Крайности (максимумы и минимумы) функции называются значениями функции в точках максимума и минимума.

Экстремумные функциональные точки

Говорят, что в точке \(\ x_

Так и не нашли ответ на вопрос?
Просто напишите, с чем нужна помощь
Мне нужна помощь
\) существует максимум (минимум), если существует такая \(\ \delta \) - окрестность точки \(\ x_
Так и не нашли ответ на вопрос?
Просто напишите, с чем нужна помощь
Мне нужна помощь
-\left(x_
Так и не нашли ответ на вопрос?
Просто напишите, с чем нужна помощь
Мне нужна помощь
-\delta, x_
Так и не нашли ответ на вопрос?
Просто напишите, с чем нужна помощь
Мне нужна помощь
+\delta\right) \) , что для всех x из этой окрестности, отличной от \(\ \boldsymbol{x}_
Так и не нашли ответ на вопрос?
Просто напишите, с чем нужна помощь
Мне нужна помощь
\), неравенство выполняется

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Точки области, в которой производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Необходимым условием существования экстремума функции. Пусть функция \(\ f(x) \) дифференцируема в интервале \(\ (a, b) \) . Если в некоторой точке \(\ x_

Так и не нашли ответ на вопрос?
Просто напишите, с чем нужна помощь
Мне нужна помощь
\in(a, b) \) функция \(\ f(x) \) имеет экстремум, то в этой точке производная равна нулю: \(\ f^{\prime}\left(x_
Так и не нашли ответ на вопрос?
Просто напишите, с чем нужна помощь
Мне нужна помощь
\right)=0 \)

Достаточное условие существования экстремума функции. Если производная функции \(\ f(x) \) равна нулю в точке \(\ x_

Так и не нашли ответ на вопрос?
Просто напишите, с чем нужна помощь
Мне нужна помощь
\) и при перемещении по этой точке в направлении возрастания x меняет знак с «+» («-») на «-» («+»), то в точке \(\ x_
Так и не нашли ответ на вопрос?
Просто напишите, с чем нужна помощь
Мне нужна помощь
\) функция имеет максимум (минимум). Если при прохождении через точку \(\ \boldsymbol{x}_
Так и не нашли ответ на вопрос?
Просто напишите, с чем нужна помощь
Мне нужна помощь
\) производная функции не меняет знак, то в этой точке функция \(\ f(x) \) не имеет экстремума.

Для изучения функции экстремума необходимо:

найти критические точки функции;

проверить, меняет ли знак производную функции при прохождении через критическую точку;

вычислить значения максимума \(\ y_{\max } \) или минимума \(\ y_{\min } \) .

Примеры функции исследования экстремума

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Найти экстремум функции \(\ y=x^

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -3 x+1 \)

  • Решение

    Найти критические точки функции, для этого вычислим производную данной функции

    \(\ y^{\prime}=3 x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -3 \)

    приведем его в нуль и найдем корни полученного квадратичного уравнения

    \(\ 3 x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -3=0 \Rightarrow x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -1=0 \Rightarrow(x-1)(x+1)=0 \Rightarrow x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =-1, \quad x_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =1 \)

    Мы получили две критические точки \(\ x_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =-1 ; x_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =1 \) . Обозначим найденные корни на числовой оси и определим знак производной на полученных интервалах.

    Пример функции исследования экстремума

    В точке \(\ x_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =-1 \) производная изменяет знак с «+» на «-», что означает, что в этой точке есть максимум. Вычислить максимальное значение

    \(\ y_{\max }=y(-1)=(-1)^

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -3 \cdot(-1)+1=-1+3+1=3 \)

    В точке \(\ x_

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =1 \) производная изменяет знак от «-» до «+», что означает, что \(\ x_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \) является точкой минимума. Значение минимума равно

    \(\ y_{\min }=y(1)=1^

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    -3 \cdot 1+1=1-3+1=-1 \)

  • Ответ

    \(\ y_{\max }=3, y_{\min }=-1 \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Найти экстремум функции

    \(\ y=x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    {x} \)

  • Решение.

    Область функции \(\ y=x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    {x} \) - это вся числовая строка, за исключением точки x = 0, т. е. \(\ D(y) : x \in(-\infty ; 0) \cup(0 ;+\infty) \)

    Вычислим производную данной функции и найдем критические точки

    \(\ y^{\prime}=2 x+\frac

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    {x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \)

    Приравнивая производную нулю

    \(\ 2 x+\frac

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    {x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=0 \Rightarrow \frac{2 x^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +2}{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=0 \Rightarrow 2\left(x^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +1\right)=0 \Rightarrow x^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =-1 \)

    Мы получаем одну критическую точку \(\ x=-1 \). Обозначим область определения функции и найденную критическую точку на числовой оси и определим знак производной на полученных интервалах

    В точке x = -1 производная меняет знак с «-» на «+», что означает, что в этой точке есть минимум. Значение минимума равно

    \(\ y_{\min }=y(1)=1^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =-1 \)

  • Ответ

    \(\ y_{\min }=-1 \)

  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы