Экстремумы функции
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Крайности (максимумы и минимумы) функции называются значениями функции в точках максимума и минимума.
Экстремумные функциональные точки
Говорят, что в точке \(\
x_{0}
\) существует максимум (минимум), если существует такая \(\
\delta
\) - окрестность точки \(\
x_{0}-\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)
\) , что для всех x из этой окрестности, отличной от \(\
\boldsymbol{x}_{0}
\), неравенство выполняется
Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Точки области, в которой производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками.
Необходимым условием существования экстремума функции. Пусть функция \(\
f(x)
\) дифференцируема в интервале \(\
(a, b)
\) . Если в некоторой точке \(\
x_{0} \in(a, b)
\) функция \(\
f(x)
\) имеет экстремум, то в этой точке производная равна нулю: \(\
f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0
\)
Достаточное условие существования экстремума функции. Если производная функции \(\
f(x)
\) равна нулю в точке \(\
x_{0}
\) и при перемещении по этой точке в направлении возрастания x меняет знак с «+» («-») на «-» («+»), то в точке \(\
x_{0}
\) функция имеет максимум (минимум). Если при прохождении через точку \(\
\boldsymbol{x}_{0}
\) производная функции не меняет знак, то в этой точке функция \(\
f(x)
\) не имеет экстремума.
Для изучения функции экстремума необходимо:
найти критические точки функции;
проверить, меняет ли знак производную функции при прохождении через критическую точку;
вычислить значения максимума \(\
y_{\max }
\) или минимума \(\
y_{\min }
\) .
Примеры функции исследования экстремума
ПРИМЕР 1
Найти экстремум функции \(\
y=x^{3}-3 x+1
\)
Найти критические точки функции, для этого вычислим производную данной функции
\(\
y^{\prime}=3 x^{2}-3
\)
приведем его в нуль и найдем корни полученного квадратичного уравнения
\(\
3 x^{2}-3=0 \Rightarrow x^{2}-1=0 \Rightarrow(x-1)(x+1)=0 \Rightarrow x_{1}=-1, \quad x_{2}=1
\)
Мы получили две критические точки \(\
x_{1}=-1 ; x_{2}=1
\) . Обозначим найденные корни на числовой оси и определим знак производной на полученных интервалах.
Пример функции исследования экстремума
В точке \(\
x_{1}=-1
\) производная изменяет знак с «+» на «-», что означает, что в этой точке есть максимум. Вычислить максимальное значение
\(\
y_{\max }=y(-1)=(-1)^{3}-3 \cdot(-1)+1=-1+3+1=3
\)
В точке \(\
x_{2}=1
\) производная изменяет знак от «-» до «+», что означает, что \(\
x_{2}
\) является точкой минимума. Значение минимума равно
\(\
y_{\min }=y(1)=1^{3}-3 \cdot 1+1=1-3+1=-1
\)
\(\
y_{\max }=3, y_{\min }=-1
\)
ПРИМЕР 2
Найти экстремум функции
\(\
y=x^{2}-\frac{2}{x}
\)
Область функции \(\
y=x^{2}-\frac{2}{x}
\) - это вся числовая строка, за исключением точки x = 0, т. е. \(\
D(y) : x \in(-\infty ; 0) \cup(0 ;+\infty)
\)
Вычислим производную данной функции и найдем критические точки
\(\
y^{\prime}=2 x+\frac{2}{x^{2}}
\)
Приравнивая производную нулю
\(\
2 x+\frac{2}{x^{2}}=0 \Rightarrow \frac{2 x^{3}+2}{x^{2}}=0 \Rightarrow 2\left(x^{3}+1\right)=0 \Rightarrow x^{3}=-1
\)
Мы получаем одну критическую точку \(\
x=-1
\). Обозначим область определения функции и найденную критическую точку на числовой оси и определим знак производной на полученных интервалах
\(\
y_{\min }=y(1)=1^{2}-\frac{2}{1}=-1
\)
\(\
y_{\min }=-1
\)
В точке x = -1 производная меняет знак с «-» на «+», что означает, что в этой точке есть минимум. Значение минимума равно