Элементарные преобразования матриц

Элементарные преобразования над строками матрицы включают следующие преобразования:

перегруппировка двух линий;

умножая каждый элемент линии на то же самое, отличное от нуля, число;

добавляя к элементам строки соответствующие элементы другой линии, умноженной на некоторое ненулевое число.

Если матрица B получается в результате элементарных преобразований строк матрицы \(\ A \), то матрицы \(\ A \) и \(\ \mathrm{B} \) называются эквивалентными и обозначают \(\ A \sim B \) .

Примеры элементарных матричных преобразований

Давайте продемонстрируем элементарные преобразования строк с использованием примера матрицы.

\(\ A=\left(\begin{array}{ccc}{1} & {0} & {4} \\ {-3} & {2} & {1} \\ {2} & {-1} & {5}\end{array}\right) \)

1. Поменяйте первый и третий строки, получим эквивалентную матрицу, поэтому мы помещаем знак эквивалентности между ними

\(\ \left(\begin{array}{ccc}{1} & {0} & {4} \\ {-3} & {2} & {1} \\ {2} & {-1} & {5}\end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{ccc}{2} & {-1} & {5} \\ {-3} & {2} & {1} \\ {1} & {0} & {4}\end{array}\right) \)

2. Умножьте первую строку последней матрицы на \(\ (-2) \) :

\(\ \left(\begin{array}{ccc}{2} & {5} & {-1} \\ {-3} & {1} & {2} \\ {1} & {4} & {0}\end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{ccc}{-4} & {-10} & {2} \\ {-3} & {1} & {2} \\ {1} & {4} & {0}\end{array}\right) \)

3. Давайте добавим к первой строке третий, умноженный на 4

\(\ \left(\begin{array}{ccc}{-4} & {-10} & {1} \\ {-3} & {1} & {1} \\ {1} & {4} & {0}\end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{ccc}{-4+1 \cdot 4} & {-10+4 \cdot 4} & {1+4 \cdot 0} \\ {-3} & {1} & {1} \\ {1} & {4} & {0}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{0} & {6} & {1} \\ {-3} & {1} & {1} \\ {1} & {4} & {0}\end{array}\right) \)

Элементарные преобразования строк используются при нахождении ранга матрицы и лежат в основе метода Гаусса.