Формы записи комплексных чисел
Существует три формы написания сложных чисел: алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные. Каждая форма записи удобна для решения ваших проблем; соответственно, вы можете передать комплексное число из одной формы в другую, в зависимости от проблемы, которую нужно решить.
Алгебраическая форма комплексного числа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Алгебраическая форма комплексного числа - это запись комплексного числа \(\
z
\) в виде\(\
z=x+i y
\), где \(\
x
\) и \(\
y
\) - вещественные числа, i - мнимая единица.
Например:
1. Комплексное число \(\
z=83-412 i
\) и его присоединенное число \(\
\overline{z}=83+412 i
\)записываются в алгебраической форме.
2. Мнимое число \(\
z=35 i
\) записывается в алгебраической форме.
Подробнее об алгебраической форме читайте в отдельной статье: Алгебраическая форма комплексного числа.
Тригонометрическая форма комплексного числа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Тригонометрическая форма ненулевого комплексного числа \(\
z=x+i y
\) есть обозначение \(\
z=r z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi)
\) , где \(\
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\) - модуль комплексного числа \(\
z
\).
Ниже мы подробно опишем, как рассчитать модуль и аргумент комплексного числа и привести примеры.
ПРИМЕР
Чтобы выразить число \(\
z=-1+i
\) в тригонометрической форме.
Действительной частью комплексного числа \(\
z=-1+i
\) является число \(\
x=\operatorname{Re} z=-1
\) , мнимая часть \(\
y=\operatorname{Im}
\),\(\
z=1
\) . Чтобы найти тригонометрическую форму записи комплексного числа, нужно найти его модуль и аргумент.
\(\
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}
\) Аргумент вычисляется по формуле:
\(\
\varphi=\arg z=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}=\operatorname{arctg} \frac{1}{-1}=\operatorname{arctg}(-1)=-\frac{\pi}{4}
\)
Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа:
\(\
z=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)
\)
\(\
z=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)
\)
Модуль и аргумент комплексного номера
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Единицей комплексного числа \(\
z=x+i y
\) является выражение \(\
r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\)
ПРИМЕР
Найти модуль числа \(\
z=-73+5 i
\)
Действительной частью комплексного числа \(\
z=-73+5 i
\) является число \(\
x=\operatorname{Re} z=-73
\) , мнимая часть \(\
y=\operatorname{Im} z=5
\) . Следовательно, модуль числа является выражением
\(\
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(-73)^{2}+5^{2}}=73,17103
\)
\(\
r=73,17103
\)
Если \(\
z
\) - действительное число, то его модуль равен \(\
r=|z|
\) равной абсолютному значению этого действительного числа.
Например: \(\
z=-57
\), \(\
r=|-57|=57
\)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Угол \(\
\varphi
\) (измеренный в радианах) радиус-вектора точки, который соответствует комплексному числу \(\
z
\) на комплексной плоскости, называется аргументом числа \(\
z : \varphi=\arg z
\). В этом случае вещественные числа \(\
\mathbf{X}
\), \(\
y
\) комплексного числа \(\
z=x+i y
\) могут быть выражены через модуль \(\
\mathrm{P}
\) и аргумент \(\
\varphi : x=r \cos \varphi, y=r \sin \varphi
\)
Экспоненциальная форма комплексного числа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Экспоненциальная форма комплексного числа есть выражение \(\
z=r e^{i \varphi}
\) , где \(\
r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\) - модуль комплексного числа. \(\
e^{i \varphi}
\) является расширением экспоненты на случай, когда показатель степени является комплексным числом.
ПРИМЕР
Запишите комплексное число \(\
z=-2 i
\)в экспоненциальной форме.
Действительной частью комплексного числа \(\
z=-2 i
\) является число \(\
x=\mathrm{Re}
\), \(\
z=0
\) . Мнимая часть \(\
y=\mathrm{Im}
\), \(\
z=-2
\) . Найдите модуль и аргумент комплексного числа:
\(\
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{0^{2}+2^{2}}=2
\)
\(\
\varphi=\arg z=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}=\operatorname{arctg} \frac{-2}{0}=\operatorname{arctg}(-\infty)=-\frac{\pi}{2}
\)
Следовательно, экспоненциальная форма:
\(\
z=r e^{i \varphi}=2 e^{-\frac{\pi}{2} i}
\)
Подробнее об экспоненциальной форме читайте в отдельной статье: Экспоненциальная форма комплексного числа.