Узнать цену работы
Статьи по теме

Формы записи комплексных чисел

Существует три формы написания сложных чисел: алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные. Каждая форма записи удобна для решения ваших проблем; соответственно, вы можете передать комплексное число из одной формы в другую, в зависимости от проблемы, которую нужно решить.

Алгебраическая форма комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Алгебраическая форма комплексного числа - это запись комплексного числа \(\ z \) в виде\(\ z=x+i y \), где \(\ x \) и \(\ y \) - вещественные числа, i - мнимая единица.

Например:

1. Комплексное число \(\ z=83-412 i \) и его присоединенное число \(\ \overline{z}=83+412 i \)записываются в алгебраической форме.

2. Мнимое число \(\ z=35 i \) записывается в алгебраической форме.

Подробнее об алгебраической форме читайте в отдельной статье: Алгебраическая форма комплексного числа.

Тригонометрическая форма комплексного числа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Тригонометрическая форма ненулевого комплексного числа \(\ z=x+i y \) есть обозначение \(\ z=r z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi) \) , где \(\ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \) - модуль комплексного числа \(\ z \).

Ниже мы подробно опишем, как рассчитать модуль и аргумент комплексного числа и привести примеры.

ПРИМЕР

  • Задача

    Чтобы выразить число \(\ z=-1+i \) в тригонометрической форме.

  • Решение.

    Действительной частью комплексного числа \(\ z=-1+i \) является число \(\ x=\operatorname{Re} z=-1 \) , мнимая часть \(\ y=\operatorname{Im} \),\(\ z=1 \) . Чтобы найти тригонометрическую форму записи комплексного числа, нужно найти его модуль и аргумент.

    \(\ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{2} \) Аргумент вычисляется по формуле:

    \(\ \varphi=\arg z=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}=\operatorname{arctg} \frac{1}{-1}=\operatorname{arctg}(-1)=-\frac{\pi}{4} \)

    Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа:

    \(\ z=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) \)

  • Ответ

    \(\ z=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) \)

    Модуль и аргумент комплексного номера

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ

    Единицей комплексного числа \(\ z=x+i y \) является выражение \(\ r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \)

    ПРИМЕР

  • Задача

    Найти модуль числа \(\ z=-73+5 i \)

  • Решение.

    Действительной частью комплексного числа \(\ z=-73+5 i \) является число \(\ x=\operatorname{Re} z=-73 \) , мнимая часть \(\ y=\operatorname{Im} z=5 \) . Следовательно, модуль числа является выражением

    \(\ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(-73)^{2}+5^{2}}=73,17103 \)

  • Ответ:

    \(\ r=73,17103 \)

    Если \(\ z \) - действительное число, то его модуль равен \(\ r=|z| \) равной абсолютному значению этого действительного числа.

    Например: \(\ z=-57 \), \(\ r=|-57|=57 \)

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ

    Угол \(\ \varphi \) (измеренный в радианах) радиус-вектора точки, который соответствует комплексному числу \(\ z \) на комплексной плоскости, называется аргументом числа \(\ z : \varphi=\arg z \). В этом случае вещественные числа \(\ \mathbf{X} \), \(\ y \) комплексного числа \(\ z=x+i y \) могут быть выражены через модуль \(\ \mathrm{P} \) и аргумент \(\ \varphi : x=r \cos \varphi, y=r \sin \varphi \)

    Экспоненциальная форма комплексного числа

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ

    Экспоненциальная форма комплексного числа есть выражение \(\ z=r e^{i \varphi} \) , где \(\ r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \) - модуль комплексного числа. \(\ e^{i \varphi} \) является расширением экспоненты на случай, когда показатель степени является комплексным числом.

    ПРИМЕР

  • Задача

    Запишите комплексное число \(\ z=-2 i \)в экспоненциальной форме.

  • Решение.

    Действительной частью комплексного числа \(\ z=-2 i \) является число \(\ x=\mathrm{Re} \), \(\ z=0 \) . Мнимая часть \(\ y=\mathrm{Im} \), \(\ z=-2 \) . Найдите модуль и аргумент комплексного числа:

    \(\ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{0^{2}+2^{2}}=2 \)

    \(\ \varphi=\arg z=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}=\operatorname{arctg} \frac{-2}{0}=\operatorname{arctg}(-\infty)=-\frac{\pi}{2} \)

    Следовательно, экспоненциальная форма:

    \(\ z=r e^{i \varphi}=2 e^{-\frac{\pi}{2} i} \)

  • Ответ: \(\ z=2 e^{-\frac{\pi}{2} i} \)

    Подробнее об экспоненциальной форме читайте в отдельной статье: Экспоненциальная форма комплексного числа.

  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ