Формула Эйлера для комплексных чисел
Формула Эйлера связывает тригонометрические и экспоненциальные функции:
\(\ e^{i \varphi}=\cos \varphi+i \sin \varphi \)
где e - показатель, i - мнимая единица.
Для комплексного числа \(\ z=x+i y= \):
\(\ e^{z}=e^{x+i y}=e^{x} \cdot e^{i y} \)
В случае, когда \(\ z \) - действительное число \(\ (\operatorname{Im} z=0) \) , получаем
\(\ e^{z}=e^{x+0 i}=e^{x} \cdot e^{0}=e^{x} \)
Если \(\ z- \) - чисто мнимое число \(\ (\operatorname{Re} z=0) \) , то:
\(\ e^{z}=e^{0+i y}=e^{0} \cdot e^{i y}=e^{i y} \)
Тогда, используя формулу Эйлера, получим:
\(\ e^{z}=e^{x} \cdot e^{i y}=e^{x} \cdot(\cos y+i \sin y) \)
Экспоненциальная форма комплексного числа
Пусть комплексное число \(\ z= \) записано в тригонометрической форме \(\ z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi) \) , где \(\ r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \) - модуль комплексного числа. Используя формулу Эйлера, получим
\(\ z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi)=r e^{i \varphi} \)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Экспоненциальная система комплексного числа называется выражением \(\
z=r e^{i \varphi}
\) , где \(\
r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\) является модулем комплексного числа, \(\
e^{i \varphi}
\) является расширением показателя степени до случая, когда показатель является комплексным числом.
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
Запишите комплексное число \(\
z=-5 i
\) в экспоненциальной форме.
вышеуказанного метода для нахождения и модуляции комплексного числа.
Модуль:
\(\
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{0^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{25}=5
\)
Аргумент:
\(\
\varphi=\arg z=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}=\operatorname{arctg} \frac{-5}{0}=\operatorname{arctg}(-\infty)=-\frac{\pi}{2}
\)
Используя формулу Эйлера, получаем экспоненциальные цифры числа:
\(\
z=r e^{i \varphi}=5 e^{-\frac{\pi}{2} i}
\)
\(\
z=5 e^{-\frac{\pi}{2} i}
\)
ПРИМЕР 2
Запишите комплексное число \(\
z=-3+4 i
\) в экспоненциальной форме.
. Модуль комплексного числа \(\
z=-3+4 i
\) равен
\(\
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5
\)
Аргумент:
\(\
\varphi=\arg z=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}=\operatorname{arctg} \frac{4}{-3}=-\operatorname{arctg} \frac{4}{3}
\)
Соответствие, экспоненциальная форма:
\(\
z=r e^{i \varphi}=5 e^{-\operatorname{arctg} \frac{4}{3} i}
\)
\(\
z=5 e^{-\operatorname{arctg} \frac{4}{3} i}
\)
ПРИМЕР 3
Для комплексного числа в экспоненциальной форме \(\
z=4 e^{\frac{\pi}{d} i}
\) найти его алгебраическую форму.
Используя формулу Эйлера для комплексных чисел, получаем:
\(\
z=4 e^{\frac{\pi}{6} i}=4\left(\cos \frac{\pi}{6}+i \sin \frac{\pi}{6}\right)=4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+i \frac{1}{2}\right)=2 \sqrt{3}+2 i
\)
\(\
z=2 \sqrt{3}+2 i
\)