Узнать цену работы
Статьи по теме

Формула Эйлера для комплексных чисел

Формула Эйлера связывает тригонометрические и экспоненциальные функции:

\(\ e^{i \varphi}=\cos \varphi+i \sin \varphi \)

где e - показатель, i - мнимая единица.

Для комплексного числа \(\ z=x+i y= \):

\(\ e^{z}=e^{x+i y}=e^{x} \cdot e^{i y} \)

В случае, когда \(\ z \) - действительное число \(\ (\operatorname{Im} z=0) \) , получаем

\(\ e^{z}=e^{x+0 i}=e^{x} \cdot e^{0}=e^{x} \)

Если \(\ z- \) - чисто мнимое число \(\ (\operatorname{Re} z=0) \) , то:

\(\ e^{z}=e^{0+i y}=e^{0} \cdot e^{i y}=e^{i y} \)

Тогда, используя формулу Эйлера, получим:

\(\ e^{z}=e^{x} \cdot e^{i y}=e^{x} \cdot(\cos y+i \sin y) \)

Экспоненциальная форма комплексного числа

Пусть комплексное число \(\ z= \) записано в тригонометрической форме \(\ z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi) \) , где \(\ r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \) - модуль комплексного числа. Используя формулу Эйлера, получим

\(\ z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi)=r e^{i \varphi} \)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Экспоненциальная система комплексного числа называется выражением \(\ z=r e^{i \varphi} \) , где \(\ r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \) является модулем комплексного числа, \(\ e^{i \varphi} \) является расширением показателя степени до случая, когда показатель является комплексным числом.

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Запишите комплексное число \(\ z=-5 i \) в экспоненциальной форме.

  • Решение

    вышеуказанного метода для нахождения и модуляции комплексного числа.

    Модуль:

    \(\ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{0^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{25}=5 \)

    Аргумент:

    \(\ \varphi=\arg z=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}=\operatorname{arctg} \frac{-5}{0}=\operatorname{arctg}(-\infty)=-\frac{\pi}{2} \)

    Используя формулу Эйлера, получаем экспоненциальные цифры числа:

    \(\ z=r e^{i \varphi}=5 e^{-\frac{\pi}{2} i} \)

  • Ответ

    \(\ z=5 e^{-\frac{\pi}{2} i} \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Запишите комплексное число \(\ z=-3+4 i \) в экспоненциальной форме.

  • Решение

    . Модуль комплексного числа \(\ z=-3+4 i \) равен

    \(\ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 \)

    Аргумент:

    \(\ \varphi=\arg z=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}=\operatorname{arctg} \frac{4}{-3}=-\operatorname{arctg} \frac{4}{3} \)

    Соответствие, экспоненциальная форма:

    \(\ z=r e^{i \varphi}=5 e^{-\operatorname{arctg} \frac{4}{3} i} \)

  • Ответ

    \(\ z=5 e^{-\operatorname{arctg} \frac{4}{3} i} \)

    ПРИМЕР 3

  • Задача.

    Для комплексного числа в экспоненциальной форме \(\ z=4 e^{\frac{\pi}{d} i} \) найти его алгебраическую форму.

  • Решение.

    Используя формулу Эйлера для комплексных чисел, получаем:

    \(\ z=4 e^{\frac{\pi}{6} i}=4\left(\cos \frac{\pi}{6}+i \sin \frac{\pi}{6}\right)=4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+i \frac{1}{2}\right)=2 \sqrt{3}+2 i \)

  • Ответ

    \(\ z=2 \sqrt{3}+2 i \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ