Узнать цену работы
Статьи по теме

Формула Тейлора для разложения функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Формулой Тейлора или рядом Тейлора в окрестности точки x=a называется выражение вида

\(\ f(x)=f(a)+\frac{f^{\prime}(a)}{1 !}(x-a)+\frac{f^{\prime \prime}(a)}{2 !}(x-a)^

Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
+\frac{f^{\prime \prime \prime}(a)}{3 !}(x-a)^
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+\ldots+\frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n}+\ldots= \)

\(\ =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n} \)

Формула Тейлора в окрестности точки x=0 называется формулой Маклорена.

Ряды Маклорена для некоторых элементарных функций:

\(\ e^{x}=1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^

Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
}{2 !}+\frac{x^
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}{3 !}+\ldots+\frac{x^{n}}{n !}+\ldots,|x|<\infty \)

\(\ \sin x=\frac{x}{1 !}-\frac{x^

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\ldots+\frac{(-1)^{n+1} x^{2 n-1}}{(2 n-1) !}-\ldots,|x|<\infty \)

\(\ \cos x=1-\frac{x^

Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}-\frac{x^{6}}{6 !}+\ldots+\frac{(-1)^{n+1} x^{2 n}}{(2 n) !}-\ldots,|x|<\infty \)

\(\ \ln (1+x)=\frac{x}

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-\frac{x^
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
}
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
+\frac{x^
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
-\ldots+\frac{(-1)^{n+1} x^{n}}{n}-\ldots, x \in(-1 ; 1] \)

\(\ (1+x)^{\alpha}=1+\frac{\alpha}{1 !} x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !} x^

Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3 !} x^
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+\ldots+\frac{\alpha(\alpha-1) \ldots(\alpha-n+1) x^{n}}{n !}+\ldots,|x|<1 \)

\(\ \operatorname{arctg} x=x-\frac{x^

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1} x^{2 n-1}}{2 n-1}-\cdots,|x| \leq 1 \)

\(\ \frac

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{1-x}=1+x+x^
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
+\cdots+x^{n}+\cdots,|x|<1 \)

\(\ \frac

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{1+x}=1-x+x^
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
-\cdots+(-1)^{n} x^{n}+\cdots,|x|<1 \)

\(\ \operatorname{sh} x=x+\frac{x^

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}+\ldots+\frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1) !}+\ldots,|x|<\infty \)

\(\ \operatorname{ch} x=1+\frac{x^

Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}+\ldots+\frac{x^{2 n}}{(2 n)}+\ldots,|x|<\infty \)

\(\ \ln \frac{1+x}{1-x}=2\left(x+\frac{x^

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
}
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
+\frac{x^{5}}{5}+\ldots+\frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}+\ldots\right),|x|<1 \)

\(\ \frac

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{(1-x)^
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
}=1+2 x+3 x^
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
+\cdots+(n+1) x^{n}+\cdots,|x|<1 \)

ПРИМЕР 1

  • Задание

    Вычислить приближенно \(\ \ln 7 \) , записав четыре первых члена его разложения в ряд Маклорена.

  • Решение

    Для вычисления используем разложение

    \(\ \ln \frac{1+x}{1-x}=2\left(x+\frac{x^

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +\frac{x^{5}}{5}+\ldots+\frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}\right),|x|<1 \)

    Из равенства \(\ 7=\frac{1+x}{1-x} \) находим \(\ \mathbf{X} \) :

    \(\ x=\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {4} \)

    Таким образом,

    \(\ \ln 7=\ln \frac{1+\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {4}}{1-\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {4}}=2 \cdot\left(\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {4}+\frac{\left(\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {4}\right)^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    }
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    +\frac{\left(\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {4}\right)^{5}}{5}+\frac{\left(\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {4}\right)^{7}}{7}+\ldots\right) \approx \)

    \(\ \approx 1,5+0,28125+0,094922+0,038138=1,91431 \)

  • Ответ

    \(\ \ln 7 \approx 1,91431 \)

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Найти первые три слагаемых разложения в ряд Тейлора в окрестности точки \(\ x=0 \) решения дифференциального уравнения \(\ y^{\prime}=x+2, y(0)=-1 \) .

  • Решение

    Искомое разложение в ряд Тейлора имеет вид:

    \(\ y(x)=y(0)+\frac{y^{\prime}(0)}{1 !} \cdot x+\frac{y^{\prime \prime}(0)}{2 !} \cdot x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    Первое слагаемое \(\ y(0) \) задано по условию.

    Производная функции в точке \(\ x=0 \)

    \(\ y^{\prime}(0)=0+2=2 \)

    Найдем вторую производную функции:

    \(\ y^{\prime \prime}=\left(y^{\prime}\right)^{\prime}=(x+2)^{\prime}=1+0=1 \)

    Тогда

    \(\ y^{\prime \prime}(0)=1 \)

    Итак, искомое разложение

    \(\ y(x)=-1+\frac

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    {1 !} \cdot x+\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {2 !} \cdot x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =-1+2 x+\frac{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

  • Ответ

    \(\ y(x)=-1+2 x+\frac{x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)
  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы