Формула Тейлора для разложения функции
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Формулой Тейлора или рядом Тейлора в окрестности точки x=a называется выражение вида
\(\
f(x)=f(a)+\frac{f^{\prime}(a)}{1 !}(x-a)+\frac{f^{\prime \prime}(a)}{2 !}(x-a)^{2}+\frac{f^{\prime \prime \prime}(a)}{3 !}(x-a)^{3}+\ldots+\frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n}+\ldots=
\)
\(\
=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n}
\)
Формула Тейлора в окрестности точки x=0 называется формулой Маклорена.
Ряды Маклорена для некоторых элементарных функций:
\(\
e^{x}=1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\ldots+\frac{x^{n}}{n !}+\ldots,|x|<\infty
\)
\(\
\sin x=\frac{x}{1 !}-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\ldots+\frac{(-1)^{n+1} x^{2 n-1}}{(2 n-1) !}-\ldots,|x|<\infty
\)
\(\
\cos x=1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}-\frac{x^{6}}{6 !}+\ldots+\frac{(-1)^{n+1} x^{2 n}}{(2 n) !}-\ldots,|x|<\infty
\)
\(\
\ln (1+x)=\frac{x}{1}-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\ldots+\frac{(-1)^{n+1} x^{n}}{n}-\ldots, x \in(-1 ; 1]
\)
\(\
(1+x)^{\alpha}=1+\frac{\alpha}{1 !} x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !} x^{2}+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3 !} x^{3}+\ldots+\frac{\alpha(\alpha-1) \ldots(\alpha-n+1) x^{n}}{n !}+\ldots,|x|<1
\)
\(\
\operatorname{arctg} x=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1} x^{2 n-1}}{2 n-1}-\cdots,|x| \leq 1
\)
\(\
\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}+\cdots,|x|<1
\)
\(\
\frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}-\cdots+(-1)^{n} x^{n}+\cdots,|x|<1
\)
\(\
\operatorname{sh} x=x+\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}+\ldots+\frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1) !}+\ldots,|x|<\infty
\)
\(\
\operatorname{ch} x=1+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}+\ldots+\frac{x^{2 n}}{(2 n)}+\ldots,|x|<\infty
\)
\(\
\ln \frac{1+x}{1-x}=2\left(x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\ldots+\frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}+\ldots\right),|x|<1
\)
\(\
\frac{1}{(1-x)^{2}}=1+2 x+3 x^{2}+\cdots+(n+1) x^{n}+\cdots,|x|<1
\)
ПРИМЕР 1
Вычислить приближенно \(\
\ln 7
\) , записав четыре первых члена его разложения в ряд Маклорена.
Для вычисления используем разложение
\(\
\ln \frac{1+x}{1-x}=2\left(x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\ldots+\frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}\right),|x|<1
\)
Из равенства \(\
7=\frac{1+x}{1-x}
\) находим \(\
\mathbf{X}
\) :
\(\
x=\frac{3}{4}
\)
Таким образом,
\(\
\ln 7=\ln \frac{1+\frac{3}{4}}{1-\frac{3}{4}}=2 \cdot\left(\frac{3}{4}+\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^{3}}{3}+\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^{5}}{5}+\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^{7}}{7}+\ldots\right) \approx
\)
\(\
\approx 1,5+0,28125+0,094922+0,038138=1,91431
\)
\(\
\ln 7 \approx 1,91431
\)
ПРИМЕР 2
Найти первые три слагаемых разложения в ряд Тейлора в окрестности точки \(\
x=0
\) решения дифференциального уравнения \(\
y^{\prime}=x+2, y(0)=-1
\) .
Искомое разложение в ряд Тейлора имеет вид:
\(\
y(x)=y(0)+\frac{y^{\prime}(0)}{1 !} \cdot x+\frac{y^{\prime \prime}(0)}{2 !} \cdot x^{2}
\)
Первое слагаемое \(\
y(0)
\) задано по условию.
Производная функции в точке \(\
x=0
\)
\(\
y^{\prime}(0)=0+2=2
\)
Найдем вторую производную функции:
\(\
y^{\prime \prime}=\left(y^{\prime}\right)^{\prime}=(x+2)^{\prime}=1+0=1
\)
Тогда
\(\
y^{\prime \prime}(0)=1
\)
Итак, искомое разложение
\(\
y(x)=-1+\frac{2}{1 !} \cdot x+\frac{1}{2 !} \cdot x^{2}=-1+2 x+\frac{x^{2}}{2}
\)
\(\
y(x)=-1+2 x+\frac{x^{2}}{2}
\)