Узнать цену работы
Статьи по теме

Формула Тейлора для разложения функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Формулой Тейлора или рядом Тейлора в окрестности точки x=a называется выражение вида

\(\ f(x)=f(a)+\frac{f^{\prime}(a)}{1 !}(x-a)+\frac{f^{\prime \prime}(a)}{2 !}(x-a)^{2}+\frac{f^{\prime \prime \prime}(a)}{3 !}(x-a)^{3}+\ldots+\frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n}+\ldots= \)

\(\ =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n} \)

Формула Тейлора в окрестности точки x=0 называется формулой Маклорена.

Ряды Маклорена для некоторых элементарных функций:

\(\ e^{x}=1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\ldots+\frac{x^{n}}{n !}+\ldots,|x|<\infty \)

\(\ \sin x=\frac{x}{1 !}-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\ldots+\frac{(-1)^{n+1} x^{2 n-1}}{(2 n-1) !}-\ldots,|x|<\infty \)

\(\ \cos x=1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}-\frac{x^{6}}{6 !}+\ldots+\frac{(-1)^{n+1} x^{2 n}}{(2 n) !}-\ldots,|x|<\infty \)

\(\ \ln (1+x)=\frac{x}{1}-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\ldots+\frac{(-1)^{n+1} x^{n}}{n}-\ldots, x \in(-1 ; 1] \)

\(\ (1+x)^{\alpha}=1+\frac{\alpha}{1 !} x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !} x^{2}+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3 !} x^{3}+\ldots+\frac{\alpha(\alpha-1) \ldots(\alpha-n+1) x^{n}}{n !}+\ldots,|x|<1 \)

\(\ \operatorname{arctg} x=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1} x^{2 n-1}}{2 n-1}-\cdots,|x| \leq 1 \)

\(\ \frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}+\cdots,|x|<1 \)

\(\ \frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}-\cdots+(-1)^{n} x^{n}+\cdots,|x|<1 \)

\(\ \operatorname{sh} x=x+\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}+\ldots+\frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1) !}+\ldots,|x|<\infty \)

\(\ \operatorname{ch} x=1+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}+\ldots+\frac{x^{2 n}}{(2 n)}+\ldots,|x|<\infty \)

\(\ \ln \frac{1+x}{1-x}=2\left(x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\ldots+\frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}+\ldots\right),|x|<1 \)

\(\ \frac{1}{(1-x)^{2}}=1+2 x+3 x^{2}+\cdots+(n+1) x^{n}+\cdots,|x|<1 \)

ПРИМЕР 1

  • Задание

    Вычислить приближенно \(\ \ln 7 \) , записав четыре первых члена его разложения в ряд Маклорена.

  • Решение

    Для вычисления используем разложение

    \(\ \ln \frac{1+x}{1-x}=2\left(x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\ldots+\frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}\right),|x|<1 \)

    Из равенства \(\ 7=\frac{1+x}{1-x} \) находим \(\ \mathbf{X} \) :

    \(\ x=\frac{3}{4} \)

    Таким образом,

    \(\ \ln 7=\ln \frac{1+\frac{3}{4}}{1-\frac{3}{4}}=2 \cdot\left(\frac{3}{4}+\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^{3}}{3}+\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^{5}}{5}+\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^{7}}{7}+\ldots\right) \approx \)

    \(\ \approx 1,5+0,28125+0,094922+0,038138=1,91431 \)

  • Ответ

    \(\ \ln 7 \approx 1,91431 \)

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Найти первые три слагаемых разложения в ряд Тейлора в окрестности точки \(\ x=0 \) решения дифференциального уравнения \(\ y^{\prime}=x+2, y(0)=-1 \) .

  • Решение

    Искомое разложение в ряд Тейлора имеет вид:

    \(\ y(x)=y(0)+\frac{y^{\prime}(0)}{1 !} \cdot x+\frac{y^{\prime \prime}(0)}{2 !} \cdot x^{2} \)

    Первое слагаемое \(\ y(0) \) задано по условию.

    Производная функции в точке \(\ x=0 \)

    \(\ y^{\prime}(0)=0+2=2 \)

    Найдем вторую производную функции:

    \(\ y^{\prime \prime}=\left(y^{\prime}\right)^{\prime}=(x+2)^{\prime}=1+0=1 \)

    Тогда

    \(\ y^{\prime \prime}(0)=1 \)

    Итак, искомое разложение

    \(\ y(x)=-1+\frac{2}{1 !} \cdot x+\frac{1}{2 !} \cdot x^{2}=-1+2 x+\frac{x^{2}}{2} \)

  • Ответ

    \(\ y(x)=-1+2 x+\frac{x^{2}}{2} \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ