Формулы дифференцирования

1. Как осуществляется дифференцирование?
2. Константу выносят за знак производной
3. Формула производной произведения функций

Определение

Дифференцирование - это процесс вычисления производной.

Производную обозначают \(\ y^{\prime} \) , либо \(\ \frac{d y}{d x} \)

Замечание

Для нахождения производной функции требуется выполнить её преобразование в другую функцию с учетом определенных правил.

Рассмотрим формулы производных элементарных функций. Стоит обратить внимание на тот факт, что происходит преобразование функций после нахождения их производных

\(\ \begin{array}{|c|c|} \hline (C)^{\prime}=0&\left(x^{\alpha}\right)^{\prime}=\alpha x^{\alpha-1}\\ \hline (k x+b)^{\prime}=k&(x)^{\prime}=1,\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{z^{2}}\\ \hline (\sin x)^{\prime}=\cos x&\left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x}\\ \hline (\cos x)^{\prime}=-\sin x&(\ln x)^{\prime}=a^{x} \ln a\\ \hline (\operatorname{tg} x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} x}&\left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a}\\ \hline (\operatorname{ctg} x)^{\prime}=-\frac{1}{\sin ^{2} x}&(\operatorname{sh} x)^{\prime}=\operatorname{ch} x\\ \hline (\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}&(\operatorname{ch} x)^{\prime}=\operatorname{sh} x\\ \hline (\arccos x)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}&(\operatorname{th} x)^{\prime}=\frac{1}{\operatorname{ch}^{2} x}\\ \hline (\operatorname{arctg} x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}&(\operatorname{cth} x)^{\prime}=-\frac{1}{\operatorname{sh}^{2} x}\\ \hline (\operatorname{arcctg} x)^{\prime}=-\frac{1}{1+x^{2}}&(\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}\\ \hline \end{array} \) x_{_{1, 2}} = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}.

Единственным исключением является \(\ y=e^{x} \), остающаяся в том же виде.

Как осуществляется дифференцирование?

Обычно при поиске производной нужно не только смотреть в таблицу, ведь первым делом нужно применить правила дифференцирования производной, и лишь после этого прибегать к таблице производных элементарных функций.

Константу выносят за знак производной

\(\ (C u)^{\prime}=C u^{\prime} \), где под C подразумевается константа (постоянная).

Для наглядности представим такие примеры дифференцирования, где будут задействованы различные формулы дифференцирования.

Пример

Необходимо продифференцировать функцию \(\ y=7 x^{4} \)

Решение

Находим \(\ y^{\prime}=\left(7 x^{4}\right)^{\prime} \), после чего выносим цифру 7 за знак производной, откуда следует:

\(\ y^{\prime}=\left(7 x^{4}\right)^{\prime}=7\left(x^{4}\right)^{\prime}= \)

Воспользовавшись таблицей, получаем такой значение производной:

\(\ =7 \cdot 4 x^{3}= \)

После этого осуществляем преобразование полученного результата в такой вид:

\(\ =28 x^{3} \)

Ответ:

\(\ 28 x^{3} \)

Производная разницы (суммы) соответствует разнице (сумме) производных:

\(\ (u \pm v)^{\prime}=u^{\prime} \pm v^{\prime} \)

Пример

Продифференцируем функцию \(\ y=7+x-5 x^{3}+4 \sin x-9 \sqrt[3]{x^{2}+\frac{4}{24}}-11 \cot x \)

Решение

\(\ y^{\prime}=\left(7+x-5 x^{5}+4 \sin x-9 \sqrt[5]{x^{2}}+\frac{4}{x^{4}}-11 \cot x\right)^{\prime}= \)

прибегнем к правилу вычисления производной разницы и суммы:

\(\ =(7)^{\prime}+(x)^{\prime}-\left(5 x^{5}\right)^{\prime}+(4 \sin x)^{\prime}-\left(9 \sqrt[5]{x^{2}}\right)^{\prime}+\left(\frac{4}{x^{4}}\right)^{\prime}-(11 \cot x)^{\prime}= \)

после чего нужно вынести за знак производной все имеющиеся постоянные:

\(\ =(7)^{\prime}+(x)^{\prime}-\left(5 x^{5}\right)^{\prime}+(4 \sin x)^{\prime}-\left(9 x^{\frac{2}{3}}\right)^{\prime}+\left(4 x^{-4}\right)^{\prime}-(11 \cot x)^{\prime}= \)

\(\ =(7)^{\prime}+(x)^{\prime}-5\left(x^{5}\right)^{\prime}+4(\sin x)^{\prime}-9\left(x^{\frac{2}{8}}\right)^{\prime}+4\left(x^{-4}\right)^{\prime}-11(\cot x)^{\prime}= \)

некоторые из вышеупомянутых правил (как пример, последние два) могут быть применены одновременно с целью избегания трудоемкого процесса переписывания весьма громоздкого выражения;

теперь имеем выражение из элементарных функций, которые стоят под знаком производной. Можно воспользоваться таблицей:

\(\ =0+1-5 \cdot 5 x^{4}+4 \cos x-9 \cdot \frac{2}{5} x^{-\frac{3}{5}}+12 x^{-5}-11 \cdot \frac{-1}{\sin ^{2} x}= \)

преобразуем результат к общепринятому в математике виду:

\(\ =1-25 x^{4}+4 \cos x-\frac{18}{5 \sqrt[5]{x^{2}}}+\frac{12}{x^{5}}+\frac{11}{\sin ^{2} x} \)

Важно отметить, что в процессе дифференцирования особое значение имеет преобразование слагаемых с отрицательной степью в дроби, а с дробными степенями в корни.

Ответ:

\(\ 1-25 x^{4}+4 \cos x-\frac{18}{5 \sqrt[4]{x^{3}}}+\frac{12}{x^{5}}+\frac{11}{\sin ^{2} x} \)

Формула производной произведения функций:

\(\ (u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime} \)

Пример

Произвести дифференцирование функции \(\ y=x^{11} \ln x \)

Решение

Применяем третье правило и прибегаем к таблице:

\(\ y^{\prime}=\left(x^{11} \ln x\right)^{\prime}=\left(x^{11}\right)^{\prime} \ln x+x^{11}(\ln \tau x)^{\prime}=11 x^{10} \ln x+x^{11} \cdot \frac{1}{x}=11 x^{10} \ln x-\frac{x^{11}}{x}=11 x^{10} \ln x-x^{10} \)

\(\ =x^{10}(11 \ln x-1) \)

Ответ:

\(\ x^{10}(11 \ln x-1) \)

Формула производной частного функций:

\(\ \left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}} \)

Пример

Произвести дифференцирование функции \(\ y=\frac{3 x-8}{x^{5}-7} \)

Решение

\(\ y^{\prime}=\left(\frac{3 x-8}{x^{5}-7}\right)^{\prime}= \)

согласно математическим правилам относительно выполнения операций, в первую очередь делим и лишь складываем и вычитаем . Прибегаем к четвертой формуле:

\(\ =\frac{(3 x-8)^{\prime}\left(x^{5}-7\right)-(3 x-8)\left(x^{5}-7\right)^{\prime}}{\left(x^{5}-7\right)^{2}}= \)

прибегнем ко второму правилу, раскроем скобки и упростим полученное выше выражение:

\(\ =\frac{3\left(x^{5}-7\right)-5 x^{4}(3 x-8)}{\left(x^{5}-7\right)^{2}}=\frac{3 x^{5}-21-15 x^{5}+40 x^{4}}{\left(x^{5}-7\right)^{2}}=\frac{-12 x^{5}+40 x^{4}-21}{\left(x^{5}-7\right)^{2}} \)

Ответ:

\(\ \frac{-12 x^{5}+40 x^{4}-21}{\left(x^{5}-7\right)^{2}} \)

Пример

Теперь продифференцируем такую функцию \(\ y=\frac{x^{7}-2 x+3}{x} \)

Решение

Данная функция - это частное других двух функций, а потому вновь можно прибегнуть к четвертой формуле, однако в итоге получится довольно громоздкая функция. Оптимальный вариант - почленное разделение на числитель и знаменатель.

\(\ y=\frac{x^{7}-13 x+9}{x}=x^{6}-13+\frac{9}{x} \)

Теперь воспользуемся правилом, по которому производится дифференцирование разности и суммы функций:

\(\ y^{\prime}=\left(x^{6}-13+\frac{9}{x}\right)^{\prime}=\left(x^{6}\right)^{\prime}+(-13)^{\prime}+9\left(x^{-1}\right)^{\prime}=6 x^{5}+0+9 \cdot\left(-x^{-2}\right)= \)

\(\ =6 x^{5}-\frac{9}{x^{2}} \)

Ответ:

\(\ 6 x^{5}-\frac{9}{x^{2}} \)