Узнать цену работы
Статьи по теме

Формулы дифференцирования функций

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Процесс нахождения производной называется дифференцированием. То есть дифференцирование представляет собой вычисление производных и дифференциалов любого порядка от функции одной переменной и частных производных и дифференциалов, а также полных дифференциалов от функций многих переменных.

Далее обсуждаются основные правила и формулы для дифференцирования функций:

\(\ \begin{array}{|c|c|} \hline (c)^{\prime}=0, c= & (\operatorname{ctg} x)^{\prime}=-\frac{1}{\sin ^{2} x} \\ \hline \left(x^{n}\right)^{\prime}=n x^{n-1} & (\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ \hline \left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \cdot \ln a & (\arccos x)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ \hline \left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x} & (\operatorname{arctg} x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}} \\ \hline \left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a} & (\operatorname{arcctg} x)^{\prime}=-\frac{1}{1+x^{2}} \\ \hline (\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x} & (\operatorname{sh} x)^{\prime}=\operatorname{ch} x \\ \hline (\sin x)^{\prime}=\cos x & (\operatorname{ch} x)^{\prime}=\operatorname{sh} x \\ \hline (\cos x)^{\prime}=-\sin x & (\operatorname{th} x)^{\prime}=\frac{1}{\operatorname{ch}^{2} x} \\ \hline (\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}} & (\operatorname{cth} x)^{\prime}=-\frac{1}{\operatorname{sh}^{2} x} \\ \hline (\operatorname{tg} x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} x} & \\ \hline \end{array} \)

Формулы дифференцирования функции

Правила дифференциации:

Константу можно взять из знака производной:

\(\ (c \cdot u(x))^{\prime}=c \cdot u^{\prime}(x) \)

Производная суммы равна сумме производных:

\(\ (u(x) \pm v(x))^{\prime}=u^{\prime}(x) \pm v^{\prime}(x) \)

Производная произведения равна сумме произведений производной первого дополнения ко второму и первому добавлению к производной второго:

\(\ (u(x) \cdot v(x))^{\prime}=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x) \)

Производная от частного выражается формулой:

\(\ \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}(x) v(x)-u(x) v^{\prime}(x)}{v^{2}(x)}, v(x) \neq 0 \)

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Найти производную от функции

    \(\ y(x)=\frac{\sin x}{x}+2 \sqrt{x+1}+2 \)

  • Решение.

    Используя правила дифференцирования и таблицу производных, мы имеем:

    \(\ y^{\prime}(x)=\left(\frac{\sin x}{x}+2 \sqrt{x+1}+2\right)^{\prime}=\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\prime}+(2 \sqrt{x+1})^{\prime}+(2)^{\prime}= \)

    \(\ =\frac{(\sin x)^{\prime} \cdot x-\sin x \cdot(x)^{\prime}}{(x)^{2}}+2 \cdot(\sqrt{x+1})^{\prime}+0=\frac{\cos x \cdot x-\sin x \cdot 1}{x^{2}}+2 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x+1}} \cdot(x+1)^{\prime}= \)

    \(\ =\frac{x \cos x-\sin x}{x^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}} \cdot(1+0)^{\prime}=\frac{x \cos x-\sin x}{x^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}} \)

  • Ответ

    \(\ y^{\prime}(x)=\frac{x \cos x-\sin x}{x^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}} \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Чтобы найти производную от функции \(\ y=6-2 x+x^{4}-\cos x+3 \sqrt{x} \)

  • Решение.

    Разделим данное выражение:

    \(\ y^{\prime}=\left(6-2 x+x^{4}-\cos x+3 \sqrt{x}\right)^{\prime} \)

    Производная суммы / разности равна сумме / разности производных, поэтому мы можем написать:

    \(\ y^{\prime}=(6)^{\prime}-(2 x)^{\prime}+\left(x^{4}\right)^{\prime}-(\cos x)^{\prime}+(3 \sqrt{x})^{\prime} \)

    Используя свойства дифференцирования и таблицу производных, получим:

    \(\ y^{\prime}=0-2 \cdot 1+4 x^{4-1}-(-\sin x)+3 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}=-2+4 x^{3}+\sin x+\frac{3}{2 \sqrt{x}} \)

  • Ответ

    \(\ y^{\prime}=-2+4 x^{3}+\sin x+\frac{3}{2 \sqrt{x}} \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ