Формулы дифференцирования функций
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Процесс нахождения производной называется дифференцированием. То есть дифференцирование представляет собой вычисление производных и дифференциалов любого порядка от функции одной переменной и частных производных и дифференциалов, а также полных дифференциалов от функций многих переменных.
Далее обсуждаются основные правила и формулы для дифференцирования функций:
\(\
\begin{array}{|c|c|}
\hline
(c)^{\prime}=0, c= & (\operatorname{ctg} x)^{\prime}=-\frac{1}{\sin ^{2} x} \\ \hline
\left(x^{n}\right)^{\prime}=n x^{n-1} & (\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ \hline
\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \cdot \ln a & (\arccos x)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ \hline
\left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x} & (\operatorname{arctg} x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}} \\ \hline
\left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a} & (\operatorname{arcctg} x)^{\prime}=-\frac{1}{1+x^{2}} \\ \hline
(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x} & (\operatorname{sh} x)^{\prime}=\operatorname{ch} x \\ \hline
(\sin x)^{\prime}=\cos x & (\operatorname{ch} x)^{\prime}=\operatorname{sh} x \\ \hline
(\cos x)^{\prime}=-\sin x & (\operatorname{th} x)^{\prime}=\frac{1}{\operatorname{ch}^{2} x} \\ \hline
(\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}} & (\operatorname{cth} x)^{\prime}=-\frac{1}{\operatorname{sh}^{2} x} \\ \hline
(\operatorname{tg} x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} x} & \\ \hline
\end{array}
\)
Формулы дифференцирования функции
Правила дифференциации:
Константу можно взять из знака производной:
\(\
(c \cdot u(x))^{\prime}=c \cdot u^{\prime}(x)
\)
Производная суммы равна сумме производных:
\(\
(u(x) \pm v(x))^{\prime}=u^{\prime}(x) \pm v^{\prime}(x)
\)
Производная произведения равна сумме произведений производной первого дополнения ко второму и первому добавлению к производной второго:
\(\
(u(x) \cdot v(x))^{\prime}=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x)
\)
Производная от частного выражается формулой:
\(\
\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}(x) v(x)-u(x) v^{\prime}(x)}{v^{2}(x)}, v(x) \neq 0
\)
ПРИМЕР 1
Найти производную от функции
\(\
y(x)=\frac{\sin x}{x}+2 \sqrt{x+1}+2
\)
Используя правила дифференцирования и таблицу производных, мы имеем:
\(\
y^{\prime}(x)=\left(\frac{\sin x}{x}+2 \sqrt{x+1}+2\right)^{\prime}=\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\prime}+(2 \sqrt{x+1})^{\prime}+(2)^{\prime}=
\)
\(\
=\frac{(\sin x)^{\prime} \cdot x-\sin x \cdot(x)^{\prime}}{(x)^{2}}+2 \cdot(\sqrt{x+1})^{\prime}+0=\frac{\cos x \cdot x-\sin x \cdot 1}{x^{2}}+2 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x+1}} \cdot(x+1)^{\prime}=
\)
\(\
=\frac{x \cos x-\sin x}{x^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}} \cdot(1+0)^{\prime}=\frac{x \cos x-\sin x}{x^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}
\)
\(\
y^{\prime}(x)=\frac{x \cos x-\sin x}{x^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}
\)
ПРИМЕР 2
Чтобы найти производную от функции \(\
y=6-2 x+x^{4}-\cos x+3 \sqrt{x}
\)
Разделим данное выражение:
\(\
y^{\prime}=\left(6-2 x+x^{4}-\cos x+3 \sqrt{x}\right)^{\prime}
\)
Производная суммы / разности равна сумме / разности производных, поэтому мы можем написать:
\(\
y^{\prime}=(6)^{\prime}-(2 x)^{\prime}+\left(x^{4}\right)^{\prime}-(\cos x)^{\prime}+(3 \sqrt{x})^{\prime}
\)
Используя свойства дифференцирования и таблицу производных, получим:
\(\
y^{\prime}=0-2 \cdot 1+4 x^{4-1}-(-\sin x)+3 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}=-2+4 x^{3}+\sin x+\frac{3}{2 \sqrt{x}}
\)
\(\
y^{\prime}=-2+4 x^{3}+\sin x+\frac{3}{2 \sqrt{x}}
\)