Формулы интегрирования функций
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция \(\
F(x)
\) называется примитивной функцией \(\
f(x)
\) если имеет место равенство:
\(\
F^{\prime}(x)=f(x)
\)
Множество всех первообразных некоторой функции \(\
f(x)
\) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается через
\(\
\int f(x) d x=F(x)+C
\)
где \(\
\mathrm{C}
\) - произвольная постоянная. Ниже описываются основные свойства и формулы для интегрирования функций:
\(\
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\int 0 \cdot d x=C& \int \frac{d x}{x^{2}+a^{2}}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a} \operatorname{arctg} \frac{x}{a}+C} \\ {-\frac{1}{a} \operatorname{arcctg} \frac{x}{a}+C}\end{array}\right. \\ \hline
\int d x=x+C& \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C\\ \hline
\int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C, n \neq-1& \int \sin a x d x=-\frac{1}{a} \cos a x+C \\ \hline
\int \frac{d x}{x}=\ln |x|+C& \int \cos a x d x=\frac{1}{a} \sin a x+C \\ \hline
\int \frac{d x}{\sqrt{x}}=2 \sqrt{x}+C& \int \frac{d x}{\cos ^{2} x}=\operatorname{tg} x+C \\ \hline
\int e^{x} d x=e^{x}+C& \int \frac{d x}{\sin ^{2} x}=-\operatorname{ctg} x+C \\ \hline
\int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\left\{\begin{array}{l}{\arcsin \frac{x}{a}+C} \\ {-\arccos \frac{x}{a}+C}\end{array}\right. & \int \frac{d x}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C \\ \hline
\end{array}
\)
Формулы интегрирования функций
Свойства неопределенного интеграла
Константу можно вынести из знака интеграла:
\(\
\int c \cdot f(x) d x=c \int f(x) d x
\)
Интеграл суммы / разности двух функций равен сумме / разности интегралов от каждого из них:
\(\
\int[f(x) \pm g(x)] d x=\int f(x) d x \pm \int g(x) d x
\)
Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральному выражению:
\(\
\left(\int f(x) d x\right)^{\prime}=f(x)
\)
ПРИМЕР 1
Поиски Интеграла
\(\
\int \frac{2 \sqrt{x}+x \cos x}{x} d x
\)
\(\
\int \frac{2 \sqrt{x}+x \cos x}{x} d x=\int\left(\frac{2 \sqrt{x}}{x}+\frac{x \cos x}{x}\right) d x=\int\left(\frac{2}{\sqrt{x}}+\cos x\right) d x=
\)
\(\
=\int \frac{2}{\sqrt{x}} d x+\int \cos x d x=2 \int \frac{d x}{\sqrt{x}}+\sin x=2 \cdot 2 \sqrt{x}+\sin x+C=4 \sqrt{x}+\sin x+C
\)
ПРИМЕР 2
поиска основной функции \(\
f(x)=x^{2}+\sin x-13
\)
Требуется первообразный
\(\
\int f(x) d x=\int\left(x^{2}+\sin x-13\right) d x
\)
Интеграл суммы / разности функций равен сумме / разности интегралов от каждой функции, т. е.
\(\
\int\left(x^{2}+\sin x-13\right) d x=\int x^{2} d x+\int \sin x d x-\int 13 d x
\)
В соответствии с правилами интегрирования и таблицей интегралов мы имеем:
\(\
\int\left(x^{2}+\sin x-13\right) d x=\frac{x^{2+1}}{2+1}+(-\cos x)-13 \int d x=\frac{x^{3}}{3}-\cos x-13 x+C
\)
\(\
\frac{x^{3}}{3}-\cos x-13 x+C
\)