Узнать цену работы
Статьи по теме

Формулы интегрирования функций

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Функция \(\ F(x) \) называется примитивной функцией \(\ f(x) \) если имеет место равенство:

\(\ F^{\prime}(x)=f(x) \)

Множество всех первообразных некоторой функции \(\ f(x) \) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается через

\(\ \int f(x) d x=F(x)+C \)

где \(\ \mathrm{C} \) - произвольная постоянная. Ниже описываются основные свойства и формулы для интегрирования функций:

\(\ \begin{array}{|c|c|} \hline \int 0 \cdot d x=C& \int \frac{d x}{x^{2}+a^{2}}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a} \operatorname{arctg} \frac{x}{a}+C} \\ {-\frac{1}{a} \operatorname{arcctg} \frac{x}{a}+C}\end{array}\right. \\ \hline \int d x=x+C& \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C\\ \hline \int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C, n \neq-1& \int \sin a x d x=-\frac{1}{a} \cos a x+C \\ \hline \int \frac{d x}{x}=\ln |x|+C& \int \cos a x d x=\frac{1}{a} \sin a x+C \\ \hline \int \frac{d x}{\sqrt{x}}=2 \sqrt{x}+C& \int \frac{d x}{\cos ^{2} x}=\operatorname{tg} x+C \\ \hline \int e^{x} d x=e^{x}+C& \int \frac{d x}{\sin ^{2} x}=-\operatorname{ctg} x+C \\ \hline \int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\left\{\begin{array}{l}{\arcsin \frac{x}{a}+C} \\ {-\arccos \frac{x}{a}+C}\end{array}\right. & \int \frac{d x}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C \\ \hline \end{array} \) Формулы интегрирования функций

Свойства неопределенного интеграла

Константу можно вынести из знака интеграла:

\(\ \int c \cdot f(x) d x=c \int f(x) d x \)

Интеграл суммы / разности двух функций равен сумме / разности интегралов от каждого из них:

\(\ \int[f(x) \pm g(x)] d x=\int f(x) d x \pm \int g(x) d x \)

Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральному выражению:

\(\ \left(\int f(x) d x\right)^{\prime}=f(x) \)

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Поиски Интеграла

    \(\ \int \frac{2 \sqrt{x}+x \cos x}{x} d x \)

  • Решение. Используя правила интегрирования и таблицу интегралов, мы будем иметь:

    \(\ \int \frac{2 \sqrt{x}+x \cos x}{x} d x=\int\left(\frac{2 \sqrt{x}}{x}+\frac{x \cos x}{x}\right) d x=\int\left(\frac{2}{\sqrt{x}}+\cos x\right) d x= \)

    \(\ =\int \frac{2}{\sqrt{x}} d x+\int \cos x d x=2 \int \frac{d x}{\sqrt{x}}+\sin x=2 \cdot 2 \sqrt{x}+\sin x+C=4 \sqrt{x}+\sin x+C \)

  • Ответ: \(\ \int \frac{2 \sqrt{x}+x \cos x}{x} d x=4 \sqrt{x}+\sin x+C \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    поиска основной функции \(\ f(x)=x^{2}+\sin x-13 \)

  • Решение

    Требуется первообразный

    \(\ \int f(x) d x=\int\left(x^{2}+\sin x-13\right) d x \)

    Интеграл суммы / разности функций равен сумме / разности интегралов от каждой функции, т. е.

    \(\ \int\left(x^{2}+\sin x-13\right) d x=\int x^{2} d x+\int \sin x d x-\int 13 d x \)

    В соответствии с правилами интегрирования и таблицей интегралов мы имеем:

    \(\ \int\left(x^{2}+\sin x-13\right) d x=\frac{x^{2+1}}{2+1}+(-\cos x)-13 \int d x=\frac{x^{3}}{3}-\cos x-13 x+C \)

  • Ответ

    \(\ \frac{x^{3}}{3}-\cos x-13 x+C \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ