Узнать цену работы
Статьи по теме

Формулы корней и их свойства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

\(\ \mathrm{N} \)-й корень из a является числом \(\ \mathrm{b} \), для которого выполняется равенство.

\(\ a=b^{n} \)

Обозначается через \(\ \sqrt[n]{a} \) , т.е.

\(\ \sqrt[n]{a}=b \Leftrightarrow a=b^{n} \)

На этой странице описаны основные формулы и свойства корней. Если индекс корня \(\ \mathbf{n} \) четный, то:

при \(\ \mathrm{a}<0 \) корень \(\ \mathrm{n} \)-й степени не определен;

для \(\ a \geq 0 \) неотрицательное значение корня \(\ \mathrm{b} \) уравнения \(\ a=b^{n} \) называется арифметическим корнем \(\ \mathrm{n} \)-й степени из \(\ \mathrm{a} \) и обозначается \(\ \sqrt[n]{a} \) .

Если показатель \(\ \Pi \) нечетен, то уравнение \(\ a=b^{n} \) имеет один корень для любого \(\ a \).

Основные свойства и формулы корней

Корневые операции выполняются в соответствии со следующими правилами:

\(\ \sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \)

\(\ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, b \neq 0 \)

\(\ (\sqrt[n]{a})^{k}=\sqrt[n]{a^{k}} \)

\(\ \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[k n]{a} \)

\(\ \sqrt[n]{a}=\sqrt[n k]{a^{k}} \)

\(\ (\sqrt[n]{a})^{n}=a, a \geq 0 \)

\(\ \sqrt[2 n]{a^{2 n}}=|a| \)

\(\ ^{2 n+1} \sqrt{-a}=-^{2 n+1 /} \overline{a}, a \geq 0 \)

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Упростить выражение \(\ \sqrt{x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -6 x+9} \)

  • Решение.

    Радикальное выражение представляет собой квадрат разности, мы сворачиваем его по формуле:

    \(\ \sqrt{x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -6 x+9}=\sqrt{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -2 \cdot x \cdot 3+3^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=\sqrt{(x-3)^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=|x-3| \)

  • Ответ

    \(\ \sqrt{x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -6 x+9}=|x-3| \)

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Уменьшить фракцию

    \(\ \frac{72 \sqrt{7}}{\sqrt{567}} \)

  • Решение.

    Радикальное выражение в знаменателе можно представить в виде следующей работы:

    \(\ 567=81 \cdot 7 \)

    Тогда мы имеем:

    \(\ \frac{72 \sqrt{7}}{\sqrt{567}}=\frac{72 \sqrt{7}}{\sqrt{81 \cdot 7}} \)

    Корень произведения равен произведению корней каждого фактора, т. е.

    \(\ \frac{72 \sqrt{7}}{\sqrt{567}}=\frac{72 \sqrt{7}}{\sqrt{81 \cdot 7}}=\frac{72 \sqrt{7}}{\sqrt{81} \cdot \sqrt{7}}=\frac{72}{9}=8 \)

  • Ответ

    \(\ \frac{72 \sqrt{7}}{\sqrt{567}}=8 \)

  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы