Формулы приведения тригонометрических функций
Формулы, с помощью которых тригонометрические функции произвольного аргумента можно привести к функциям острого угла, называются формулами редукции для тригонометрических функций. Эти формулы для тригонометрии изучаются в 10 классе; их можно получить, используя формулы для сложения и вычитания аргументов.
\(\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x& \frac{\pi}{2}-\alpha& \frac{\pi}{2}+\alpha& \pi-\alpha& \pi+\alpha\\ \hline \sin x& \cos \alpha& \cos \alpha& \sin \alpha&-\sin \alpha\\ \hline \cos x&\sin \alpha &-\sin \alpha &-\cos \alpha &-\cos \alpha\\ \hline \operatorname{tg} x&\operatorname{ctg} \alpha & -\operatorname{ctg} \alpha&-\operatorname{tg} \alpha & \operatorname{tg} \alpha\\ \hline \operatorname{ctg} x& \operatorname{tg} \alpha& -\operatorname{tg} \alpha& -\operatorname{ctg} \alpha&\operatorname{ctg} \alpha\\ \hline \end{array} \) \(\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x& -\alpha& \frac{3 \pi}{2}-\alpha& \frac{3 \pi}{2}+\alpha & 2 \pi-\alpha & 2 \pi+\alpha\\ \hline \sin x& -\sin \alpha& -\cos \alpha& -\cos \alpha& -\sin \alpha & \sin \alpha\\ \hline \cos x& \cos \alpha& -\sin \alpha& \sin \alpha& \cos \alpha& \cos \alpha\\ \hline \operatorname{tg} x& -\operatorname{tg} \alpha & \operatorname{ctg} \alpha& -\operatorname{ctg} \alpha& -\operatorname{tg} \alpha & \operatorname{tg} \alpha\\ \hline \operatorname{ctg} x& -\operatorname{ctg} \alpha& \operatorname{tg} \alpha& -\operatorname{tg} \alpha& -\operatorname{ctg} \alpha& \operatorname{ctg} \alpha\\ \hline \end{array} \)
Тригонометрические редукционные формулы
ПРИМЕР 1
Упростить выражение \(\
\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)+\cos (\pi+\alpha)
\)
Используйте формулы литья
\(\
\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)+\cos (\pi+\alpha)=\cos \alpha-\cos \alpha=0
\)
\(\
\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)+\cos (\pi+\alpha)=0
\)
ПРИМЕР 2
Привести \(\
\operatorname{tg} 3728^{\circ}
\) к функции острого угла.
Так как функция \(\
y=\operatorname{tg} x
\) периодична с периодом \(\
\pi
\) , то касательные угла, которые отличаются друг от друга числом, кратным периоду - \(\
-180^{\circ} \cdot n
\) , равны
\(\
\operatorname{tg} 3728^{\circ}=\operatorname{tg}\left(128^{\circ}+20 \cdot 180^{\circ}\right)=\operatorname{tg} 128^{\circ}
\)
Угол \(\
128^{\circ}
\) представлен в виде следующего количества:
\(\
128^{\circ}=90^{\circ}+38^{\circ}
\)
т.е.
\(\
\operatorname{tg} 128^{\circ}=\operatorname{tg}\left(90^{\circ}+38^{\circ}\right)
\)
Используя тот факт, что \(\
90^{\circ}=\frac{\pi}{2}
\) счастлив, на пересечении третьей строки и третьего столбца таблицы выше, мы получаем:
\(\
\operatorname{tg} 3728^{\circ}=\operatorname{tg}\left(90^{\circ}+38^{\circ}\right)=-\operatorname{ctg} 38^{\circ}
\)
\(\
\operatorname{tg} 3728^{\circ}=-\operatorname{ctg} 38^{\circ}
\)