Формулы производных функции

Рассмотрим функцию

\(\ y=f(x) \) , которая определена и непрерывна на некотором интервале \(\ (a ; b) \) , произвольной точке \(\ x_

\in(a ; b) \) и соответствующем значении функции в этой точке \(\ f\left(x_ \right) \) . Задайте аргумент функции приращению \(\ \Delta x \) в точке \(\ \boldsymbol{x}_ \) . В результате получаем значение \(\ \Delta x+x_ \) и соответствующее значение функции \(\ f\left(\Delta x+x_ \right) \) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная функции в точке \(\ x_

\) является пределом отношения приращения функции \(\ \Delta y=f\left(x_ +\Delta x\right)-f\left(x_ \right) \) к приращению аргумента \(\ \Delta x \) , который вызвал ее в этой точке, при условии, что последний стремится к нулю: \(\ \Delta x \rightarrow 0 \)

\(\ f^{\prime}\left(x_

\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_ +\Delta x\right)-f\left(x_ \right)}{\Delta x} \)

Если этот предел конечен, то рассматриваемая функция \(\ y=f(x) \) называется дифференцируемой в точке \(\ x_

\)

Дифференциация - это процесс нахождения производной функции. Он выполняется с использованием таблицы производных и правил дифференциации. На этой странице все формулы производятся функциональными функциями.

Таблица производных, список формул \(\ \begin{array}{|c|c|} \hline (c)^{\prime}=0,(x)^{\prime}=1 &(\operatorname{th} x)^{\prime}=\frac

{\operatorname{ch}^ x} \\ \hline \left(x^{\alpha}\right)^{\prime}=\alpha x^{\alpha-1}, x>0, \alpha \in R & (\operatorname{cth} x)^{\prime}=-\frac {\operatorname{sh}^ x} \\ \hline \left(\frac {x}\right)^{\prime}=-\frac {x^ }, x \neq 0 &(\arcsin x)^{\prime}=\frac {\sqrt{1-x^ }} \\ \hline \left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \ln a, a>0, a \neq 1 &(\arccos x)^{\prime}=-\frac {\sqrt{1-x^ }} \\ \hline (\ln x)^{\prime}=\frac {x}, x>0 &(\operatorname{arctg} x)^{\prime}=\frac {1+x^ } \\ \hline \left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac {x \ln a}, x>0, a>0, a \neq 1 &(\operatorname{arcctg} x)^{\prime}=-\frac {1+x^ } \\ \hline (\sin x)^{\prime}=\cos x &(\sqrt{x})^{\prime}=\frac {2 \sqrt{x}}, x>0 \\ \hline (\operatorname{tg} x)^{\prime}=\frac {\cos ^ x}, x \neq \frac{\pi} +\pi n, n \in Z &\left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x} \\ \hline (\operatorname{ctg} x)^{\prime}=-\frac {\sin ^ x}, x \neq \pi n, n \in Z & (\ln x)^{\prime}=\frac {x} \\ \hline (\operatorname{sh} x)^{\prime}=\operatorname{ch} x & (|x|)^{\prime}=\operatorname{sign} x=\left\{\begin{array}{l}{1, x>0} \\ {-1, x<0}\end{array} x \neq 0\right. \\ \hline (\operatorname{ch} x)^{\prime}=\operatorname{sh} x & \\ \hline \end{array} \)

Функциональные производные формулы

Правила дифференцирования

\(\ (c \cdot u(x))^{\prime}=c \cdot u^{\prime}(x) \)

\(\ (u(x) \pm v(x))^{\prime}=u^{\prime}(x) \pm v^{\prime}(x) \)

\(\ (u(x) \cdot v(x))^{\prime}=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x) \)

\(\ \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}(x) v(x)-u(x) v^{\prime}(x)}{v^

(x)}, v(x) \neq 0 \)

ПРИМЕР 1

Задача

Найдите производную функции \(\ y(x)=2 \log _

Не нашли ответ?

Просто напиши, с чем тебе нужна помощь

Мне нужна помощь

x-3^{x}+4 \)

Решение.

Требуемая производная равна:

\(\ y^{\prime}(x)=\left(2 \log _

Не нашли ответ?

Просто напиши, с чем тебе нужна помощь

Мне нужна помощь

x-3^{x}+4\right)^{\prime}=\left(2 \log _

Не нашли ответ?

Просто напиши, с чем тебе нужна помощь

Мне нужна помощь

x\right)^{\prime}-\left(3^{x}\right)^{\prime}+(4)^{\prime}= \)

\(\ =2 \cdot\left(\log _

Не нашли ответ?

Просто напиши, с чем тебе нужна помощь

Мне нужна помощь

x\right)^{\prime}-3^{x} \ln 3+0=\frac

Не нашли ответ?

Просто напиши, с чем тебе нужна помощь

Мне нужна помощь

{x \ln 2}-3^{x} \ln 3 \)

Ответ

\(\ y^{\prime}(x)=\frac

Не нашли ответ?

Просто напиши, с чем тебе нужна помощь

Мне нужна помощь

{x \ln 2}-3^{x} \ln 3 \)

ПРИМЕР 2

Задание

Функция дифференцирования задачи

\(\ y(x)=\sin x-\frac{x+1}{x-2} \)

Решение

Требуемая производная

\(\ y^{\prime}(x)=\left(\sin x-\frac{x+1}{x-2}\right)^{\prime} \)

Производная от разности равна разности производных:

\(\ y^{\prime}(x)=(\sin x)^{\prime}-\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^{\prime} \)

Производная от первого члена будет найдена в таблице производных, вторая - как производная от конкретного:

\(\ y^{\prime}(x)=\cos x-\frac{(x+1)^{\prime} \cdot(x-2)-(x+1) \cdot(x-2)^{\prime}}{(x-2)^

Не нашли ответ?

Просто напиши, с чем тебе нужна помощь

Мне нужна помощь

}=\cos x-\frac{1 \cdot(x-2)-(x+1) \cdot 1}{(x-2)^

Не нашли ответ?

Просто напиши, с чем тебе нужна помощь

Мне нужна помощь

}= \)

\(\ =\cos x-\frac{x-2-x-1}{(x-2)^

Не нашли ответ?

Просто напиши, с чем тебе нужна помощь

Мне нужна помощь

}=\cos x+\frac

Лень читать?

Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут

Задать вопрос

{(x-2)^

Не нашли ответ?

Просто напиши, с чем тебе нужна помощь

Мне нужна помощь

} \)

Ответ

\(\ y^{\prime}(x)=\cos x+\frac

Лень читать?

Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут

Задать вопрос

{(x-2)^

Не нашли ответ?

Просто напиши, с чем тебе нужна помощь

Мне нужна помощь

} \)