Рассмотрим функцию
\(\
y=f(x)
\) , которая определена и непрерывна на некотором интервале \(\
(a ; b)
\) , произвольной точке \(\
x_
\in(a ; b)
\) и соответствующем значении функции в этой точке \(\
f\left(x_
\right)
\) . Задайте аргумент функции приращению \(\
\Delta x
\) в точке \(\
\boldsymbol{x}_
\) . В результате получаем значение \(\
\Delta x+x_
\) и соответствующее значение функции \(\
f\left(\Delta x+x_
\right)
\) .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная функции в точке \(\
x_
\) является пределом отношения приращения функции \(\
\Delta y=f\left(x_
+\Delta x\right)-f\left(x_
\right)
\) к приращению аргумента \(\
\Delta x
\) , который вызвал ее в этой точке, при условии, что последний стремится к нулю: \(\
\Delta x \rightarrow 0
\)
\(\
f^{\prime}\left(x_
\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_
+\Delta x\right)-f\left(x_
\right)}{\Delta x}
\)
Если этот предел конечен, то рассматриваемая функция \(\
y=f(x)
\) называется дифференцируемой в точке \(\
x_
\)
Дифференциация - это процесс нахождения производной функции. Он выполняется с использованием таблицы производных и правил дифференциации. На этой странице все формулы производятся функциональными функциями.
Таблица производных, список формул
\(\
\begin{array}{|c|c|}
\hline
(c)^{\prime}=0,(x)^{\prime}=1 &(\operatorname{th} x)^{\prime}=\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос {\operatorname{ch}^
x} \\ \hline
\left(x^{\alpha}\right)^{\prime}=\alpha x^{\alpha-1}, x>0, \alpha \in R & (\operatorname{cth} x)^{\prime}=-\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос {\operatorname{sh}^
x} \\ \hline
\left(\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос {x}\right)^{\prime}=-\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос {x^
}, x \neq 0 &(\arcsin x)^{\prime}=\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос {\sqrt{1-x^
}} \\ \hline
\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \ln a, a>0, a \neq 1 &(\arccos x)^{\prime}=-\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос {\sqrt{1-x^
}} \\ \hline
(\ln x)^{\prime}=\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос {x}, x>0 &(\operatorname{arctg} x)^{\prime}=\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос {1+x^
} \\ \hline
\left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос {x \ln a}, x>0, a>0, a \neq 1 &(\operatorname{arcctg} x)^{\prime}=-\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос {1+x^
} \\ \hline
(\sin x)^{\prime}=\cos x &(\sqrt{x})^{\prime}=\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос {2 \sqrt{x}}, x>0 \\ \hline
(\operatorname{tg} x)^{\prime}=\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос {\cos ^
x}, x \neq \frac{\pi}
+\pi n, n \in Z &\left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x} \\ \hline
(\operatorname{ctg} x)^{\prime}=-\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос {\sin ^
x}, x \neq \pi n, n \in Z & (\ln x)^{\prime}=\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос {x} \\ \hline
(\operatorname{sh} x)^{\prime}=\operatorname{ch} x & (|x|)^{\prime}=\operatorname{sign} x=\left\{\begin{array}{l}{1, x>0} \\ {-1, x<0}\end{array} x \neq 0\right. \\ \hline
(\operatorname{ch} x)^{\prime}=\operatorname{sh} x & \\ \hline
\end{array}
\)
Функциональные производные формулы
Правила дифференцирования
\(\
(c \cdot u(x))^{\prime}=c \cdot u^{\prime}(x)
\)
\(\
(u(x) \pm v(x))^{\prime}=u^{\prime}(x) \pm v^{\prime}(x)
\)
\(\
(u(x) \cdot v(x))^{\prime}=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x)
\)
\(\
\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}(x) v(x)-u(x) v^{\prime}(x)}{v^
(x)}, v(x) \neq 0
\)
ПРИМЕР 1
Задача
Найдите производную функции \(\
y(x)=2 \log _
x-3^{x}+4
\)
Решение.
Требуемая производная равна:
\(\
y^{\prime}(x)=\left(2 \log _
x-3^{x}+4\right)^{\prime}=\left(2 \log _
x\right)^{\prime}-\left(3^{x}\right)^{\prime}+(4)^{\prime}=
\)
\(\
=2 \cdot\left(\log _
x\right)^{\prime}-3^{x} \ln 3+0=\frac
{x \ln 2}-3^{x} \ln 3
\)
Ответ
\(\
y^{\prime}(x)=\frac
{x \ln 2}-3^{x} \ln 3
\)
ПРИМЕР 2
Задание
Функция дифференцирования задачи
\(\
y(x)=\sin x-\frac{x+1}{x-2}
\)
Решение
Требуемая производная
\(\
y^{\prime}(x)=\left(\sin x-\frac{x+1}{x-2}\right)^{\prime}
\)
Производная от разности равна разности производных:
\(\
y^{\prime}(x)=(\sin x)^{\prime}-\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^{\prime}
\)
Производная от первого члена будет найдена в таблице производных, вторая - как производная от конкретного:
\(\
y^{\prime}(x)=\cos x-\frac{(x+1)^{\prime} \cdot(x-2)-(x+1) \cdot(x-2)^{\prime}}{(x-2)^
}=\cos x-\frac{1 \cdot(x-2)-(x+1) \cdot 1}{(x-2)^
}=
\)
\(\
=\cos x-\frac{x-2-x-1}{(x-2)^
}=\cos x+\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос {(x-2)^
}
\)
Ответ
\(\
y^{\prime}(x)=\cos x+\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос {(x-2)^
}
\)
