Формулы синусов и косинусов
Косинусы и синусы связаны между собою следующими тригонометрическими формулами.
Основное тригонометрическое тождество \(\ \sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1 \)
Тригонометрические формулы косинусов и синусов суммы и разности углов
\(\ \sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta+\cos \alpha \cdot \sin \beta \)
\(\ \sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta-\cos \alpha \cdot \sin \beta \)
\(\ \cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta-\sin \alpha \cdot \sin \beta \)
\(\ \cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta \)
Тригонометрические формулы косинусов и синусов двойного и тройного аргументов
\(\ \sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \)
\(\ \cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha \)
\(\ \cos 2 \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1 \)
\(\ \cos 2 \alpha=1-2 \sin ^{2} \alpha \)
\(\ \sin 3 \alpha=3 \sin \alpha-4 \sin ^{3} \alpha \)
\(\ \cos 3 \alpha=4 \cos ^{3} \alpha-3 \cos \alpha \)
Формулы понижения степени для косинуса и синуса\(\ \sin ^{2} \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{2} \), \(\ \cos ^{2} \alpha=\frac{1+\cos 2 \alpha}{2} \)
Формулы для косинуса и синуса половинного аргумента \(\ \cos \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}} \), \(\ \sin \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}} \)
Формулы преобразования произведения косинусов и синусов в сумму
\(\ \sin \alpha \cdot \sin \beta=\frac{1}{2}[\cos (\alpha-\beta)-\cos (\alpha+\beta)] \)
\(\ \cos \alpha \cdot \cos \beta=\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)] \)
\(\ \sin \alpha \cdot \cos \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)] \)
Формулы преобразования суммы косинусов и синусов в произведение
\(\ \sin \alpha+\sin \beta=2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cdot \cos \frac{\alpha-\beta}{2} \)
\(\ \sin \alpha-\sin \beta=2 \sin \frac{\alpha-\beta}{2} \cdot \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \)
\(\ \cos \alpha+\cos \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cdot \cos \frac{\alpha-\beta}{2} \)
\(\ \cos \alpha-\cos \beta=2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cdot \sin \frac{\beta-\alpha}{2} \)
Формулы, выражающие синус и косинус через тангенс половинного аргумента \(\ \sin \alpha=\frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1+\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}} \), \(\ \cos \alpha=\frac{1-\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}{1+\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}} \)
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Доказать тождество \(\
\cos ^{2}(\alpha-\beta)-\cos ^{2}(\alpha+\beta)=\sin 2 \alpha \cdot \sin 2 \beta
\)
Распишем выражение в левой части заданного равенства как разность квадратов, получим:\(\
\cos ^{2}(\alpha-\beta)-\cos ^{2}(\alpha+\beta)=(\cos (\alpha-\beta)+\cos (\alpha+\beta)) \cdot(\cos (\alpha-\beta)-\cos (\alpha+\beta))
\)
Далее преобразуем разность и сумму косинусов в скобках, используя формулы \(\
\cos \alpha+\cos \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cdot \cos \frac{\alpha-\beta}{2} ; \quad \cos \alpha-\cos \beta=2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cdot \sin \frac{\beta-\alpha}{2}
\)
Получим:
\(\
\cos ^{2}(\alpha-\beta)-\cos ^{2}(\alpha+\beta)=2 \cos \frac{\alpha-\beta+\alpha+\beta}{2} \cdot \cos \frac{\alpha-\beta-\alpha-\beta}{2} \cdot 2 \sin \frac{\alpha-\beta+\alpha+\beta}{2} \cdot \sin \frac{\alpha+\beta-\alpha+\beta}{2}=2 \cos \alpha \cdot \cos (-\beta) \cdot 2 \sin \alpha \cdot \sin \beta
\)
Учитывая, что косинус функция четная, а также, используя формулу синуса двойного угла \(\
\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha
\) , окончательно имеем:
\(\
\cos ^{2}(\alpha-\beta)-\cos ^{2}(\alpha+\beta)=2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot 2 \sin \beta \cdot \cos \beta=\sin 2 \alpha \cdot \sin 2 \beta
\)
Что и требовалось доказать.
ПРИМЕР 2
Упростить выражение
\(\
\frac{\sin ^{2} 2 \alpha-4 \sin ^{2} \alpha}{\sin ^{2} 2 \alpha-4 \sin ^{2} \alpha-4}
\)
В числителе и в знаменателе преобразуем, синус двойного угла, используя формулу \(\
\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha
\) , получим
\(\
\frac{\sin ^{2} 2 \alpha-4 \sin ^{2} \alpha}{\sin ^{2} 2 \alpha+4 \sin ^{2} \alpha-4}=\frac{(2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha)^{2}-4 \sin ^{2} \alpha}{(2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha)^{2}+4 \sin ^{2} \alpha-4}=\frac{4 \sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha-4 \sin ^{2} \alpha}{4 \sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha+4 \sin ^{2} \alpha-4}=\frac{4 \sin ^{2} \alpha\left(\cos ^{2} \alpha-1\right)}{4\left(\sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha+\left(\sin ^{2} \alpha-1\right)\right)}
\)
Числитель и знаменатель полученной дроби сократим на 4, а из основного тригонометрического тождества \(\
\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1
\) выразим \(\
\cos ^{2} \alpha-1=-\sin ^{2} \alpha
\) и \(\
\sin ^{2} \alpha-1=-\cos ^{2} \alpha
\) , и, так же подставим в последнюю дробь:
\(\
\frac{\sin ^{2} 2 \alpha-4 \sin ^{2} \alpha}{\sin ^{2} 2 \alpha+4 \sin ^{2} \alpha-4}=\frac{4 \sin ^{2} \alpha\left(\cos ^{2} \alpha-1\right)}{4\left(\sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha+\left(\sin ^{2} \alpha-1\right)\right)}=\frac{\sin ^{2} \alpha \cdot\left(-\sin ^{2} \alpha\right)}{\left(\sin ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha-\cos ^{2} \alpha\right)}=\frac{-\sin ^{4} \alpha}{\cos ^{2} \alpha \cdot\left(\sin ^{2} \alpha-1\right)}=\frac{-\sin ^{4} \alpha}{\cos ^{2} \alpha \cdot\left(-\cos ^{2} \alpha\right)}=\frac{-\sin ^{4} \alpha}{-\cos ^{4} \alpha}=\operatorname{tg}^{4} \alpha
\)