Интеграл арктангенса
Интеграл от арктангенса равен переменной интегрирования, умноженной на этот арктангенс, за вычетом естественного логарифма корня суммы единицы и переменной интегрирования в квадрате плюс константа интегрирования
\(\ \int \operatorname{arctg} x d x=x \cdot \operatorname{arctg} x-\ln \sqrt{1+x^{2}}+C \)
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
Чтобы доказать это \(\
\int \operatorname{arctg} x d x=x \cdot \operatorname{arctg} x-\ln \sqrt{1+x^{2}}+C
\)
\(\
\int \operatorname{arctg} x d x\left\|u=\frac{d x}{1+x^{2}}, \quad v=x\right\|=x \cdot \operatorname{arctg} x-\int \frac{x d x}{1+x^{2}}\left\|\begin{array}{l}{1+x^{2}=t \|} \\ {2 x d x=d t} \\ {x d x=\frac{d t}{2}}\end{array}\right\|=
\)
\(\
=x \cdot \operatorname{arctg} x-\frac{1}{2} \int \frac{d t}{t}=x \cdot \operatorname{arctg} x-\frac{1}{2} \ln |t|+C=x \cdot \operatorname{arctg} x-\ln \sqrt{\left|1+x^{2}\right|}+C=
\)
\(\
=x \cdot \operatorname{arctg} x-\ln \sqrt{1+x^{2}}+C
\)
ПРИМЕР 2
Найти интеграл \(\
\int x \operatorname{arctg} x^{2} d x
\)
Чтобы свести интеграл к известной формуле, применим метод замены переменных:
\(\
\int x \operatorname{arctg} x^{2} d x\left\|\begin{array}{c}{x^{2}=t} \\ {2 x d x=d t} \\ {x d x=\frac{d t}{2}}\end{array}\right\|=\int \operatorname{arctg} t \cdot \frac{d t}{2}=\frac{1}{2} \int \operatorname{arctg} t d t=
\)
\(\
=\frac{1}{2}\left(t \cdot \operatorname{arctg} t-\ln \sqrt{1+t^{2}}\right)+C=\frac{1}{2}\left(x^{2} \cdot \operatorname{arctg} x^{2}-\ln \sqrt{1+\left(x^{2}\right)^{2}}\right)+C=
\)
\(\
=\frac{x^{2} \operatorname{arctg} x^{2}}{2}-\frac{1}{2} \ln \sqrt{1+x^{4}}+C
\)
\(\
\int x \operatorname{arctg} x^{2} d x=\frac{x^{2} \operatorname{arctg} x^{2}}{2}-\frac{1}{2} \ln \sqrt{1+x^{4}}+C
\)