Узнать цену работы
Статьи по теме

Интеграл суммы

Интеграл суммы равен сумме интегралов

\(\ \int(f(x)+g(x)) d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x \)

Данная формула распространена и на большее конечное число слагаемых:

\(\ \int\left[g_{1}(x)+g_{2}(x)+\ldots+g_{n}(x)\right] d x=\int g_{1}(x) d x+\int g_{2}(x) d x+\ldots+\int g_{n}(x) d x \)

Примеры решения задач по теме «Интеграл суммы»

ПРИМЕР 1

  • Задание

    Найти интеграл

    \(\ \int(\sqrt{x}+1) d x \)

  • Решение

    Интеграл суммы равен сумме интегралов:

    \(\ \int(\sqrt{x}+1) d x=\int \sqrt{x} d x+\int 1 \cdot d x \)

    Первый интеграл \(\ \int \sqrt{x} d x=\int x^{\frac{1}{2}} d x=\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C=\frac{2 \sqrt{x^{3}}}{3}+C \)

    Для второго интеграла используем правило: знак интеграла уничтожает знак дифференциала:

    \(\ \int 1 \cdot d x=\int d x=x+C \)

    Тогда

    \(\ \int(\sqrt{x}+1) d x=\frac{2 \sqrt{x^{3}}}{3}+x+C \)

  • Ответ

    \(\ \int(\sqrt{x}+1) d x=\frac{2 \sqrt{x^{3}}}{3}+x+C \)

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Решить интеграл \(\ \int(\cos x+x) d x \)

  • Решение

    Записываем данный интеграл в виде суммы двух интегралов:

    \(\ \int(\cos x+x) d x=\int \cos x d x+\int x d x \)

    Интеграл косинуса равен синусу:

    \(\ \int \cos x d x=\sin x+C \)

    Интеграл от степенной функции

    \(\ \int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \)

    то есть

    \(\ \int x d x=\frac{x^{1+1}}{1+1}+C=\frac{x^{2}}{2}+C \)

    Таким образом,

    \(\ \int(\cos x+x) d x=\sin x+\frac{x^{2}}{2}+C \)

  • Ответ

    \(\ \int(\cos x+x) d x=\sin x+\frac{x^{2}}{2}+C \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ