Узнать цену работы
Статьи по теме

Интегралы тригонометрических функций

Интеграл от синуса равен минус косинусу плюс константа интегрирования

\(\ \int \sin x d x=-\cos x+C \)

Интеграл от косинуса равен синусу плюс константа интегрирования

\(\ \int \cos x d x=\sin x+C \)

Интеграл от тангенса равен минус логарифму натуральному косинуса плюс константа интегрирования

\(\ \int \operatorname{tg} x d x=-\ln |\cos x|+C \)

Интеграл от котангенса равен логарифму натуральному синуса плюс константа интегрирования

\(\ \int \operatorname{ctg} x d x=\ln |\sin x|+C \)

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

  • Задание

    Найти интеграл \(\ \int(2 \sin x+x) d x \)

  • Решение

    Согласно свойствам интеграла, интеграл суммы равен сумме интегралов и постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. Тогда заданный интеграл перепишется в виде:

    \(\ \int(2 \sin x+x) d x=2 \int \sin x d x+\int x d x \)

    Интеграл от первого слагаемого

    \(\ \int \sin x d x=-\cos x+C \)

    а от второго, как от степенной функции,

    \(\ \int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \)

    При \(\ \mathrm{n}=1 \) будем иметь:

    \(\ \int x d x=\frac{x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +C \)

    Итак, искомый интеграл

    \(\ \int(2 \sin x+x) d x=2 \cdot(-\cos x)+\frac{x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +C=-2 \cos x+\frac{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +C \)

  • Ответ

    \(\ \int(2 \sin x+x) d x=-2 \cos x+\frac{x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +C \)

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Доказать, что \(\ \int \operatorname{ctg} x d x=\ln \sin x+C \)

  • Решение

    Выведем записанную формулу. Для этого преобразуем подынтегральное выражение и применим метод подстановки для нахождения неопределенного интеграла:

    \(\ \int \operatorname{ctg} x d x=\int \frac{\cos x}{\sin x} d x \| \operatorname{cin} x=t \)

  • Что и требовалось доказать.
  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы