Интегралы тригонометрических функций
Интеграл от синуса равен минус косинусу плюс константа интегрирования
\(\ \int \sin x d x=-\cos x+C \)
Интеграл от косинуса равен синусу плюс константа интегрирования
\(\ \int \cos x d x=\sin x+C \)
Интеграл от тангенса равен минус логарифму натуральному косинуса плюс константа интегрирования
\(\ \int \operatorname{tg} x d x=-\ln |\cos x|+C \)
Интеграл от котангенса равен логарифму натуральному синуса плюс константа интегрирования
\(\ \int \operatorname{ctg} x d x=\ln |\sin x|+C \)
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Найти интеграл \(\
\int(2 \sin x+x) d x
\)
Согласно свойствам интеграла, интеграл суммы равен сумме интегралов и постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. Тогда заданный интеграл перепишется в виде:
\(\
\int(2 \sin x+x) d x=2 \int \sin x d x+\int x d x
\)
Интеграл от первого слагаемого
\(\
\int \sin x d x=-\cos x+C
\)
а от второго, как от степенной функции,
\(\
\int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C
\)
При \(\
\mathrm{n}=1
\) будем иметь:
\(\
\int x d x=\frac{x^{2}}{2}+C
\)
Итак, искомый интеграл
\(\
\int(2 \sin x+x) d x=2 \cdot(-\cos x)+\frac{x^{2}}{2}+C=-2 \cos x+\frac{x^{2}}{2}+C
\)
\(\
\int(2 \sin x+x) d x=-2 \cos x+\frac{x^{2}}{2}+C
\)
ПРИМЕР 2
Доказать, что \(\
\int \operatorname{ctg} x d x=\ln \sin x+C
\)
Выведем записанную формулу. Для этого преобразуем подынтегральное выражение и применим метод подстановки для нахождения неопределенного интеграла:
\(\
\int \operatorname{ctg} x d x=\int \frac{\cos x}{\sin x} d x \| \operatorname{cin} x=t
\)