Узнать цену работы
Статьи по теме

Интегрирование по частям

Интеграция по частям является одним из способов найти интеграл. Метод состоит в следующем: если подынтегральное выражение может быть представлено как произведение двух непрерывных функций в месте с его производной (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией элементарной), то справедлива следующая формула:

\(\ \int u d v=u v-\int v d u \)

которая называется кусочной интегральной формулой.

КОММЕНТАРИЙ

Предполагается, что найти интеграл \(\ \int v d u \) проще, чем интеграл \(\ \int u d v \) . В противном случае использование метода неоправданно.

Доказательство формулы интегрирования по частям

Доказательства. Для дифференциала произведения двух непрерывных функций вместе со своими производными имеет место равенство:

\(\ d(u v)=v d u+u d v \)

Интегрируем последнее равенство:

\(\ \int d(u v)=\int(v d u+u d v) \)

По свойствам интегралов имеем:

\(\ u v=\int v d u+\int u d v \)

Или, если они переписаны в другой форме, мы имеем:

\(\ \int u d v=u v-\int v d u \)

Что и требовалось доказать

КОММЕНТАРИЙ

Последнее равенство справедливо вплоть до постоянной, возникающей при интегрировании.

Итак, интеграция по частям состоит в том, что подынтегральное выражение данного интеграла каким-то образом представляется как произведение двух факторов: u и dv (это часто можно сделать несколькими способами); то, найдя v (найденный из dv путем интегрирования) и du (дифференцируя выражение для u), формула интегрирования используется по частям.

КОММЕНТАРИЙ

При нахождении функции v путем интегрирования выражения dv константу C можно считать равной нулю.

КОММЕНТАРИЙ

Иногда для решения сложных интегралов интеграционная формула по частям должна использоваться несколько раз.

Для каких типов интегралов используется формула

Некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.

1. Интегралы вида \(\ \int f(x) \sin (k x+b) d x \)

Здесь \(\ f(x) \) является многочленом. В этом случае \(\ u=f(x) \) и в качестве \(\ \mathrm{dv} \) возьмем все остальные факторы в подынтегральном выражении.

2. Интегралы вида \(\ \int f(x) \arcsin x d x \) , \(\ \int f(x) \arccos d x \), \(\ \int f(x) \operatorname{arctg} x d x \) , \(\ \int f(x) \operatorname{arcctg} x d x \) , \(\ \int f(x) \ln d x \)

Здесь вам нужно взять \(\ d v=f(x) d x \) , а затем \(\ \mathrm{u} \) - все остальные факторы.

3. Интегралы вида \(\ \int e^{a x} \sin (k x+b) d x \) , \(\ \int e^{a x} \cos (k x+b) d x \)

Для u вы можете взять функцию \(\ u=e^{a x} \) .

КОММЕНТАРИЙ

Так же вы можете взять тригонометрическую функцию.

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Найти интеграл \(\ \int x \ln x d x \)

  • Решение.

    Так как u возьмем \(\ \ln x \), все остальное - \(\ \mathrm{dv} \). т.е.

    \(\ \int x \ln x d x\left\|\begin{array}{cc}{u=\ln x} & {d v=x d x} \\ {d u=\frac{d x}{x}} & {v=\frac{x^{2}}{2}}\end{array}\right\|=\ln x \cdot \frac{x^{2}}{2}-\int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{d x}{x}=\frac{x^{2} \ln x}{2}-\frac{1}{2} \int x d x= \)

    \(\ =\frac{x^{2} \ln x}{2}-\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}+C=\frac{x^{2} \ln x}{2}-\frac{x^{2}}{4}+C \)

  • Ответ

    \(\ \int x \ln x d x=\frac{x^{2} \ln x}{2}-\frac{x^{2}}{4}+C \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Решите интеграл \(\ \int e^{3 x} \cos 3 x d x \)

  • Решение.

    В этом случае мы возьмем показатель степени, имеем:

    \(\ \int e^{3 x} \cos 3 x d x\left\|_{d u=3 e^{3 x} d x} d v=\cos 3 x d x\right\|=e^{3 x} \cdot \frac{\sin 3 x}{3}-\int \frac{\sin 3 x}{3} \cdot 3 e^{3 x} d x= \)

    \(\ =\frac{e^{3 x} \sin 3 x}{3}-\int e^{3 x} \sin 3 x d x \)

    Получаем интеграл, найденный методом интегрирования по частям. Поэтому мы применяем его снова. Здесь снова, как и, возьмем функцию \(\ e^{3 x} \):

    \(\ \int e^{3 x} \cos 3 x d x=\frac{e^{3 x} \sin 3 x}{3}-\int e^{3 x} \sin 3 x d x\left\|\begin{array}{cc}{u=e^{3 x}} & {d v=\sin 3 x d x} \\ {d u=3 e^{3 x} d x} & {v=-\frac{\cos 3 x}{3}}\end{array}\right\|= \)

    \(\ =\frac{e^{3 x} \sin 3 x}{3}-\left(e^{3 x} \cdot\left(-\frac{\cos 3 x}{3}\right)-\int\left(-\frac{\cos 3 x}{3}\right) \cdot 3 e^{3 x} d x\right)= \)

    \(\ =\frac{e^{3 x} \sin 3 x}{3}+\frac{e^{3 x} \cos 3 x}{3}-\int e^{3 x} \cos 3 x d x \)

    Итак, мы приходим к первоначальному интегралу. Запишем интегральное равенство (в последней серии формул подчеркнутые выражения):

    \(\ \int e^{3 x} \cos 3 x d x=\frac{e^{3 x}(\sin 3 x+\cos 3 x)}{3}-\int e^{3 x} \cos 3 x d x+C \)

    Решив написанное равенство относительно неизвестного интеграла, получим:

    \(\ \int e^{3 x} \cos 3 x d x+\int e^{3 x} \cos 3 x d x=\frac{e^{3 x}(\sin 3 x+\cos 3 x)}{3} \)

    \(\ 2 \int e^{3 x} \cos 3 x d x=\frac{e^{3 x}(\sin 3 x+\cos 3 x)}{3} \)

    Добавьте еще одну константу интеграции и, наконец, имеем:

    \(\ \int e^{3 x} \cos 3 x d x=\frac{e^{3 x}(\sin 3 x+\cos 3 x)}{6}+C \)

  • Ответ

    \(\ \int e^{3 x} \cos 3 x d x=\frac{e^{3 x}(\sin 3 x+\cos 3 x)}{6}+C \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ