Узнать цену работы
Статьи по теме

Интегрирование заменой переменной

Метод интегрирования заменой переменной заключается во введении новой переменной интегрирования. При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, являющимся либо табличным, либо к нему сводящимся.

Пусть задан интеграл \(\ \int f(x) d x \) Сделаем подстановку

\(\ x=\phi(t) \) функция \(\ \phi(t) \) является дифференцируемой. Тогда дифференциал \(\ d x=d(\phi(t))=\phi^{\prime}(t) d t \) . Заданный интеграл принимает вид:

\(\ \int f(x) d x=\int f(\phi(t)) \cdot \phi^{\prime}(t) d t \)

Записанная формула называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле.

ЗАМЕЧАНИЕ

После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования \(\ t \) назад к начальной переменной \(\ x \).

Если задан интеграл \(\ \int f(\phi(x)) \cdot \phi^{\prime}(x) d x \) тогда целесообразно делать подстановку в виде \(\ t=\phi(x) \), заданный интеграл принимает вид:

\(\ \int f(\phi(x)) \cdot \phi^{\prime}(x) d x=\int f(t) d t \)

Примеры интегрирования заменой переменной

ПРИМЕР 1

  • Задание

    Найти интеграл \(\ \int e^{2 x} d x \)

  • Решение

    Сделаем замену переменных: \(\ 2 \mathrm{x}=\mathrm{t} \)

    Продифференцировав левую и правую части, получим:

    \(\ d(2 x)=d(t) \Rightarrow 2 d x=d t \Rightarrow d x=\frac{d t}{2} \)

    Подставляем полученные выражения в заданный интеграл:

    \(\ \int e^{2 x} d x=\int e^{t} \cdot \frac{d t}{2}=\frac{1}{2} \int e^{t} d t \)

    В итоге преобразований получили табличный интеграл:

    \(\ \int e^{2 x} d x=\frac{1}{2} e^{t}+C \)

    Возвращаемся к начальной переменной, то есть делаем обратную подстановку \(\ t=2 x \). В результате будем иметь:

    \(\ \int e^{2 x} d x=\frac{1}{2} e^{2 x}+C \)

  • Ответ

    \(\ \int e^{2 x} d x=\frac{1}{2} e^{2 x}+C \)

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Решить интеграл \(\ \int x \sqrt{x-1} d x \)

  • Решение

    Сделаем замену \(\ x-1=t^{2} \) , тогда \(\ x=t^{2}+1 \) и \(\ d x=2 t d t \) . Заданный интеграл принимает вид:

    \(\ \int x \sqrt{x-1} d x=\int\left(t^{2}+1\right) \sqrt{t^{2}} \cdot 2 t d t=2 \int t^{2}\left(t^{2}+1\right) d t=2 \int\left(t^{4}+t^{2}\right) d t= \)

    \(\ =2 \int t^{4} d t+2 \int t^{2} d t=2 \cdot \frac{t^{5}}{5}+2 \cdot \frac{t^{3}}{3}+C=\frac{2 t^{5}}{5}+\frac{2 t^{3}}{3}+C\left\|_{t=\sqrt{x-1}}^{2}=x-1 \Rightarrow\right\|= \)

    \(\ =\frac{2(\sqrt{x-1})^{5}}{5}+\frac{2(\sqrt{x-1})^{3}}{3}+C=\frac{2 \sqrt{(x-1)^{5}}}{5}+\frac{2 \sqrt{(x-1)^{3}}}{3}+C \)

  • Ответ

    \(\ \int x \sqrt{x-1} d x=\frac{2 \sqrt{(x-1)^{5}}}{5}+\frac{2 \sqrt{(x-1)^{3}}}{3}+C \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ