Интегрирование заменой переменной
Метод интегрирования заменой переменной заключается во введении новой переменной интегрирования. При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, являющимся либо табличным, либо к нему сводящимся.
Пусть задан интеграл \(\ \int f(x) d x \) Сделаем подстановку
\(\ x=\phi(t) \) функция \(\ \phi(t) \) является дифференцируемой. Тогда дифференциал \(\ d x=d(\phi(t))=\phi^{\prime}(t) d t \) . Заданный интеграл принимает вид:
\(\ \int f(x) d x=\int f(\phi(t)) \cdot \phi^{\prime}(t) d t \)
Записанная формула называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле.
ЗАМЕЧАНИЕ
После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования \(\
t
\) назад к начальной переменной \(\
x
\).
Если задан интеграл \(\
\int f(\phi(x)) \cdot \phi^{\prime}(x) d x
\) тогда целесообразно делать подстановку в виде \(\
t=\phi(x)
\), заданный интеграл принимает вид:
\(\
\int f(\phi(x)) \cdot \phi^{\prime}(x) d x=\int f(t) d t
\)
Примеры интегрирования заменой переменной
ПРИМЕР 1
Найти интеграл \(\
\int e^{2 x} d x
\)
Сделаем замену переменных: \(\
2 \mathrm{x}=\mathrm{t}
\)
Продифференцировав левую и правую части, получим:
\(\
d(2 x)=d(t) \Rightarrow 2 d x=d t \Rightarrow d x=\frac{d t}{2}
\)
Подставляем полученные выражения в заданный интеграл:
\(\
\int e^{2 x} d x=\int e^{t} \cdot \frac{d t}{2}=\frac{1}{2} \int e^{t} d t
\)
В итоге преобразований получили табличный интеграл:
\(\
\int e^{2 x} d x=\frac{1}{2} e^{t}+C
\)
Возвращаемся к начальной переменной, то есть делаем обратную подстановку \(\
t=2 x
\). В результате будем иметь:
\(\
\int e^{2 x} d x=\frac{1}{2} e^{2 x}+C
\)
\(\
\int e^{2 x} d x=\frac{1}{2} e^{2 x}+C
\)
ПРИМЕР 2
Решить интеграл \(\
\int x \sqrt{x-1} d x
\)
Сделаем замену \(\
x-1=t^{2}
\) , тогда \(\
x=t^{2}+1
\) и \(\
d x=2 t d t
\) . Заданный интеграл принимает вид:
\(\
\int x \sqrt{x-1} d x=\int\left(t^{2}+1\right) \sqrt{t^{2}} \cdot 2 t d t=2 \int t^{2}\left(t^{2}+1\right) d t=2 \int\left(t^{4}+t^{2}\right) d t=
\)
\(\
=2 \int t^{4} d t+2 \int t^{2} d t=2 \cdot \frac{t^{5}}{5}+2 \cdot \frac{t^{3}}{3}+C=\frac{2 t^{5}}{5}+\frac{2 t^{3}}{3}+C\left\|_{t=\sqrt{x-1}}^{2}=x-1 \Rightarrow\right\|=
\)
\(\
=\frac{2(\sqrt{x-1})^{5}}{5}+\frac{2(\sqrt{x-1})^{3}}{3}+C=\frac{2 \sqrt{(x-1)^{5}}}{5}+\frac{2 \sqrt{(x-1)^{3}}}{3}+C
\)
\(\
\int x \sqrt{x-1} d x=\frac{2 \sqrt{(x-1)^{5}}}{5}+\frac{2 \sqrt{(x-1)^{3}}}{3}+C
\)