Извлечение корня из комплексного числа
Невозможно однозначно извлечь корень из комплексного числа, так как оно имеет ряд значений, равных его степени.
Сложные числа подняты до степени тригонометрической формы, для которой справедлива формула Моиварда:
\(\ z^{k}=r^{k}(\cos k \varphi+i \sin k \varphi), \forall k \in N \)
Аналогично, эта формула используется для вычисления корня степени k из комплексного числа (не равного нулю):
\(\ z^{\frac{1}{k}}=(r(\cos (\varphi+2 \pi n)+i \sin (\varphi+2 \pi n)))^{\frac{1}{k}}=r^{\frac{1}{k}}\left(\cos \frac{\varphi+2 \pi n}{k}+i \sin \frac{\varphi+2 \pi n}{k}\right), \forall k>1, \forall n \in N \)
Если комплексное число не равно нулю, то корни степени k всегда существуют, и их можно представить на комплексной плоскости: они будут вершинами k-угольника, вписанными в круг с центром в начале координат и радиус \(\ r^{\frac{1}{k}} \)
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
Найти корень третьей степени из числа \(\
z=-1
\).
Вначале мы выражаем число \(\
z=-1
\) в тригонометрической форме. Вещественной частью числа \(\
z=-1
\) является число \(\
z=-1
\), мнимая часть равна \(\
y=\operatorname{lm}
\), \(\
z=0
\). Чтобы найти тригонометрическую форму написания комплексного числа, вам нужно найти его модуль и аргумент.
Модуль комплексного числа \(\
z
\) - это число:
\(\
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(-1)^{2}+0^{2}}=\sqrt{1+0}=1
\)
Аргумент вычисляется по формуле:
\(\
\varphi=\arg z=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}=\operatorname{arctg} \frac{0}{-1}=\operatorname{arctg} 0=\pi
\)
Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа равна: \(\
z=1(\cos \pi+i \sin \pi)
\)
Тогда корень 3-й степени выглядит следующим образом:
При \(\
\mathrm{n}=0
\) получаем:
\(\
\omega_{1}=\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}
\)
При \(\
n=1
\) получаем:
\(\
\omega_{2}=\cos \pi+i \sin \pi=-1+i \cdot 0=-1
\)
При \(\
n=2
\) получаем:
\(\
\omega_{3}=\cos \frac{5 \pi}{3}+i \sin \frac{5 \pi}{3}=\frac{1}{2}+i \frac{-\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}
\)
\(\
\omega_{1}=\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}, \omega_{2}=-1, \omega_{3}=\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}
\)
ПРИМЕР 2
Чтобы извлечь корень 2-й степени из числа \(\
z=1-\sqrt{3} i
\)
Начнем с того, что мы выражаем комплексное число в тригонометрической форме.
Действительной частью комплексного числа \(\
z=1-\sqrt{3} i
\) является число \(\
x=\operatorname{Re} z=1
\) , мнимая часть \(\
y=\operatorname{Im} z=-\sqrt{3}
\) . Чтобы найти тригонометрическую форму написания комплексного числа, вам нужно найти его модуль и аргумент.
Модуль комплексного числа \(\
r
\) - это число:
\(\
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=2
\)
Аргумент:
\(\
\varphi=\arg z=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}=\operatorname{arctg} \frac{-\sqrt{3}}{1}=\operatorname{arctg}(-\sqrt{3})=\frac{2 \pi}{3}
\)
Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа:
\(\
z=2\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)
\)
Применяя формулу для извлечения корня 2-й степени, получаем:
\(\
z^{\frac{1}{2}}=\left(2\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)^{\frac{1}{2}}=
\)
\(\
=\sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{3}+\pi n\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3}+\pi n\right)\right), n=0,1
\)
При \(\
\mathrm{n}=0
\) получаем:
\(\
\omega_{1}=\sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{3}+0\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3}+0\right)\right)=\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{6}}{2}
\)
При \(\
\mathrm{n}=1
\) получаем:
\(\
\omega_{2}=\sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{3}+\pi\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3}+\pi\right)\right)=\sqrt{2}\left(-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{6}}{2}
\)
\(\
\omega_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{6}}{2} ; \omega_{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{6}}{2}
\)