Комплексно сопряженные числа

поиска для комплексного числа \(\ z=-34-i \) является его сопряженное число.

Комплексное сопряженное число является числом вида \(\ \overline{z}=x-i y \) . Вещественной частью комплексного числа \(\ z=-34-i \) является число \(\ x=\operatorname{Re} \), \(\ z=-34 \), мнимая часть равна \(\ y=\operatorname{lm} \), \(\ z=-1 \).

Следовательно, сопряженное число имеет вид: \(\ \overline{z}=-34+i \)

\(\ \overline{z}=-34+i \)

На комплексной плоскости сопряженные числа зеркалируются относительно оси действительных чисел.

Свойства комплексно-сопряженных чисел

1. \(\ |z|=|z| \), т. е. модули сопряженных чисел равны.

Например.

Модуль комплексного числа \(\ z=-4+i \) равен \(\ r=\sqrt{(-4)^{2}+1^{2}}=\sqrt{17} \). Присоединенным к комплексному числу является число \(\ z=-4-i \), модуль \(\ r=\sqrt{(-4)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{17} \) которого равен модулю исходного числа.

2. \(\ \arg z=-\arg \overline{z} \) т. е. Аргументы сопряженных чисел различаются по знаку.

3. \(\ \overline{\overline{z}}=z \) т. е. Комплексное сопряженное сопряженное число является исходным комплексным числом.

4. \(\ z \cdot \overline{z}=|z|^{2} \) т. е. В результате произведения сопряженных чисел получается вещественное число.

5.\(\ z+\overline{z}=2 \operatorname{Re} z \) т. е. Сумма сопряженных чисел также является вещественным числом.

6.\(\ \overline{z_{1} \cdot z_{2}}=\overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}} \) т. е. Сопряженное произведение двух комплексных чисел является произведением их сопряженных чисел.

7.\(\ \overline{z_{1} \div z_{2}}=\overline{z_{1}} \div \overline{z_{2}} \) т. е. Сопряженное к ним частное число есть фактор сопряженного.

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

Чтобы умножить комплексное число \(\ z=4-7 i \) на его сопряженное.

Сопряженное с номером \(\ z=4-7 i \) - это число \(\ z=4+7 i \). Найдите произведение двух чисел:

\(\ z \cdot \overline{z}=(4-7 i) \cdot(4+7 i)=4 \cdot 4+(-7) \cdot 7 \cdot i^{2}+i(4 \cdot 7-7 \cdot 4)=65 \)

\(\ z \cdot \overline{z}=65 \)

ПРИМЕР 2

Чтобы найти сопряженное к частному два комплексных числа: \(\ z 1=1-3 i \), \(\ z 2=2+5 i \).

Фактор комплексных чисел определяется путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное число:

\(\ z_{1} \div z_{2}=\frac{1-3 i}{2+5 i}=\frac{(1-3 i)(2-5 i)}{(2+5 i)(2-5 i)}=\frac{1 \cdot 2-3 \cdot 5}{2^{2}+5^{2}}+i \frac{-5 \cdot 1-3 \cdot 2}{2^{2}+5^{2}}=-\frac{13}{29}-i \frac{11}{29} \)

Сопряженным числом для конкретного будет число \(\ -\frac{13}{29}+i \frac{11}{29} \)

Мы получим тот же результат, если найдем фактор сопряженных чисел \(\ z \rceil=1-3 i \), \(\ z 2=2+5 i \):

\(\ \overline{z_{1}} \div \overline{z_{2}}=\frac{1+3 i}{2-5 i}=\frac{(1+3 i)(2+5 i)}{(2-5 i)(2+5 i)}=\frac{1 \cdot 2-3 \cdot 5}{2^{2}+5^{2}}+i \frac{5 \cdot 1+3 \cdot 2}{2^{2}+5^{2}}=-\frac{13}{29}+i \frac{11}{29} \)

\(\ \overline{z_{1} \div z_{2}}=-\frac{13}{29}+i \frac{11}{29} \)