Косинус 30 градусов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Косинус 30 градусов равен \(\ \frac{\sqrt{3}}{2} \) , записанный следующим образом: \(\ \cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} \)
В радианах 30 градусов соответствует \(\ \frac{\pi}{6} \) , то \(\ \cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} \)
На тригонометрическом круге косинус 30 градусов расположен следующим образом (рис.1).
Рис. 1
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
Чтобы найти гипотенузу правого треугольника, если один из его острых углов равен \(\ \alpha=30^{\circ} \) и соседняя с ним сторона \(\ 2 \sqrt{3} \) см.
По определению косинус угла \(\ \alpha \) представляет собой отношение ноги, прилегающей к этому углу, к гипотенузе. Мы несем обозначение c - гипотенуза, b - нога смежна с углом \(\ \alpha \) по условию \(\ b=2 \sqrt{3} \) затем
\(\ \cos \alpha=\frac{b}{c} \quad \Rightarrow \quad c=\frac{b}{\cos \alpha} \)
Подставляя заданные значения в последнее равенство, получим
\(\ c=\frac{2 \sqrt{3}}{\cos 30^{\circ}} \)
Учитывая, что \(\ \cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} \) , наконец, искомая гипотенуза равна
\(\ c=2 \sqrt{3} \div \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \Rightarrow \quad c=2 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \quad \Rightarrow \quad c=4(\mathrm{см}) \)
\(\ c=4 \)
ПРИМЕР 2
Найти скалярное произведение векторов \(\ \overline{a} \) и \(\ \overline{b} \) если \(\ |\overline{a}|=3 \sqrt{3} \), \(\ |\overline{b}|=6 \) и угол между ними \(\ \angle(\overline{a}, \overline{b})=30^{\circ} \)
Скалярное произведение двух векторов можно найти по формуле \(\ (\overline{a}, \overline{b})=|\overline{a}| \cdot|\overline{b}| \cos \angle(\overline{a}, \overline{b}) \)
Замените начальные значения на эту формулу. \(\ (\overline{a}, \overline{b})=3 \sqrt{3} \cdot 6 \cdot \cos 30^{\circ} \)
Учитывая, что \(\ \cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} \) , мы, наконец, получаем: \(\ (\overline{a}, \overline{b})=3 \sqrt{3} \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=27 \)
\(\ (\overline{a}, \overline{b})=27 \)