Косинус 45 градусов
Значение косинуса 45 градусов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Косинус 45 градусов равен
\(\
\frac{\sqrt{2}}{2}
\) , то есть
\(\
\cos 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}
\)
В радианах \(\
45^{\circ}
\) равно \(\
\frac{\pi}{4}
\), тогда
\(\
\cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}
\)
На единичной окружности косинус 45 градусов расположен следующим образом, как показано на рисунке 1.
Рис. 1
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Преобразовать в сумму выражение \(\
\cos \left(45^{\circ}-x\right)
\)
Применим к заданному выражению формулу косинуса разности углов, получим:
\(\
\cos \left(45^{\circ}-x\right)=\cos 45^{\circ} \cos x+\sin 45^{\circ} \sin x
\)
Учитывая, что \(\
\cos 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}
\) и \(\
\sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}
\) имеем
\(\
\cos \left(45^{\circ}-x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x+\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x
\)
ПРИМЕР 2
Стороны параллелограмма равны 5 и \(\
2 \sqrt{2}
\) см, а один из его углов равен \(\
135^{\circ}
\) . Найти длину меньшей диагонали параллелограмма. Сделаем рисунок (рис. 1).
По условию \(\
B C=A D=5
\); \(\
A B=C D=2 \sqrt{2}
\); \(\
\angle B=135^{\circ}
\) Меньшая диагональ \(\
\mathrm{BD}
\) лежит против острого угла параллелограмма. Так как сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна \(\
180^{\circ}
\) , то острый угол \(\
\angle A
\) параллелограмма равен:
\(\
\angle A=180^{\circ}-\angle B \quad \Rightarrow \quad \angle A=180^{\circ}-135^{\circ} \quad \Rightarrow \quad \angle A=45^{\circ}
\)
Рассмотрим \(\
\Delta A B C
\) . Из него по теореме косинусов найдем \(\
\mathrm{BD}
\):
\(\
B D^{2}=A B^{2}+A D^{2}-2 \cdot A B \cdot A D \cdot \cos \angle A
\);
\(\
B D^{2}=(2 \sqrt{2})^{2}+5^{2}-2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 5 \cdot \cos 45^{\circ}
\)
учитывая, что \(\
\cos 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}
\) , получим:
\(\
B D^{2}=8+25-20 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
\);
\(\
B D^{2}=13 ; \quad \Rightarrow \quad B D=\sqrt{13}(см)
\)
\(\
B D=\sqrt{13}
\)