Косинус угла
Определение косинуса и формула
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Косинус острого угла прямоугольного треугольника - это отношение стороны, прилегающей к этому углу, к гипотенузе.
Рассмотрим правый треугольник \(\
\Delta A B C
\), \(\
\angle C=90^{\circ}
\), \(\
A B
\) или c - гипотенуза, а \(\
\mathrm{AC}
\) или \(\
\mathrm{b}
\) и \(\
\mathrm{BC}
\) или \(\
\mathbf{a}
\) - ноги, прилегающие к острым углам \(\
\alpha
\) и \(\
\beta
\) соответственно (рис.1).
Рис. 1
В этих обозначениях косинусы острых углов записываются следующим образом.
\(\
\cos \alpha=\frac{b}{c} \quad \cos \alpha=\frac{A C}{A B}
\)
\(\
\cos \beta=\frac{a}{c} \quad \cos \beta=\frac{B C}{A B}
\)
Рассмотрим тригонометрический единичный круг, центрированный в начале координат. Выберем произвольный угол \(\
\alpha
\) (рис.2), который соответствует точке \(\
A\left(x_{0}, y_{0}\right)
\) на единичном круге.
Рис. 2
Отбрасываем перпендикуляр \(\
\mathrm{AB}
\) из точки\(\
\mathrm{A}
\) в ось \(\
\mathrm{Ox}
\), затем
\(\
\cos \alpha=\frac{B O}{A O}
\)
учитывая, что радиус окружности равен \(\
\mathrm{AO}=1
\), то
\(\
\cos \alpha=B O=x_{0}
\)
т. е. косинус угла \(\
\alpha
\) является абсциссой точки \(\
\mathbf{A}
\)
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
В правом треугольнике один из острых углов равен \(\
30^{\circ}
\), а гипотенуза равна \(\
2 \sqrt{3}
\) , см. «Найти ногу рядом с заданным углом».
Обозначим гипотенузу \(\
c=2 \sqrt{3}
\) , острый угол \(\
\alpha=30^{\circ}
\) , затем желаемую смежную ногу \(\
\mathrm{b}
\). По определению отношение смежной ноги к гипотенузе равно косинусу. Тогда в введенных обозначениях он будет записан следующим образом: \(\
\cos \alpha=\frac{b}{c}
\)
Выразим из этого соотношения требуемый результат:\(\
b=c \cdot \cos \alpha
\) . Подставим данные значения в последнее равенство, получим
\(\
b=2 \sqrt{3} \cdot \cos 30^{\circ} \quad \Rightarrow \quad b=2 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \Rightarrow \quad b=3 c m
\)
\(\
b=3
\)
ПРИМЕР 2
Одна из ног правого треугольника - 3 см, а гипотенуза - 6. Найдите степень измерения угла между ними.
Обозначим данную ногу \(\
a=3
\) и гипотенузу \(\
c=6
\), затем обозначим угол между ними \(\
\beta
\) . Соотношение смежного с некоторым острым углом ноги к гипотенузе равно косинусу этого угла. В приведенных выше обозначениях это отношение записывается следующим образом.
\(\
\cos \beta=\frac{a}{c}
\)
Подставим эти значения сторон в это равенство, получим
\(\
\cos \beta=\frac{3}{6} \quad \Rightarrow \quad \cos \beta=\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \beta=60^{\circ}
\)
\(\
\beta=60^{\circ}
\)