Узнать цену работы
Статьи по теме

Косинус угла

Определение косинуса и формула

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Косинус острого угла прямоугольного треугольника - это отношение стороны, прилегающей к этому углу, к гипотенузе.

Рассмотрим правый треугольник \(\ \Delta A B C \), \(\ \angle C=90^{\circ} \), \(\ A B \) или c - гипотенуза, а \(\ \mathrm{AC} \) или \(\ \mathrm{b} \) и \(\ \mathrm{BC} \) или \(\ \mathbf{a} \) - ноги, прилегающие к острым углам \(\ \alpha \) и \(\ \beta \) соответственно (рис.1).

Рис. 1

В этих обозначениях косинусы острых углов записываются следующим образом.

\(\ \cos \alpha=\frac{b}{c} \quad \cos \alpha=\frac{A C}{A B} \)

\(\ \cos \beta=\frac{a}{c} \quad \cos \beta=\frac{B C}{A B} \)

Рассмотрим тригонометрический единичный круг, центрированный в начале координат. Выберем произвольный угол \(\ \alpha \) (рис.2), который соответствует точке \(\ A\left(x_{0}, y_{0}\right) \) на единичном круге.

Рис. 2

Отбрасываем перпендикуляр \(\ \mathrm{AB} \) из точки\(\ \mathrm{A} \) в ось \(\ \mathrm{Ox} \), затем \(\ \cos \alpha=\frac{B O}{A O} \)

учитывая, что радиус окружности равен \(\ \mathrm{AO}=1 \), то \(\ \cos \alpha=B O=x_{0} \)

т. е. косинус угла \(\ \alpha \) является абсциссой точки \(\ \mathbf{A} \)

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

  • Задача

    В правом треугольнике один из острых углов равен \(\ 30^{\circ} \), а гипотенуза равна \(\ 2 \sqrt{3} \) , см. «Найти ногу рядом с заданным углом».

  • Решение

    Обозначим гипотенузу \(\ c=2 \sqrt{3} \) , острый угол \(\ \alpha=30^{\circ} \) , затем желаемую смежную ногу \(\ \mathrm{b} \). По определению отношение смежной ноги к гипотенузе равно косинусу. Тогда в введенных обозначениях он будет записан следующим образом: \(\ \cos \alpha=\frac{b}{c} \)

    Выразим из этого соотношения требуемый результат:\(\ b=c \cdot \cos \alpha \) . Подставим данные значения в последнее равенство, получим \(\ b=2 \sqrt{3} \cdot \cos 30^{\circ} \quad \Rightarrow \quad b=2 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \Rightarrow \quad b=3 c m \)

  • Ответ

    \(\ b=3 \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Одна из ног правого треугольника - 3 см, а гипотенуза - 6. Найдите степень измерения угла между ними.

  • Решение

    Обозначим данную ногу \(\ a=3 \) и гипотенузу \(\ c=6 \), затем обозначим угол между ними \(\ \beta \) . Соотношение смежного с некоторым острым углом ноги к гипотенузе равно косинусу этого угла. В приведенных выше обозначениях это отношение записывается следующим образом. \(\ \cos \beta=\frac{a}{c} \)

    Подставим эти значения сторон в это равенство, получим \(\ \cos \beta=\frac{3}{6} \quad \Rightarrow \quad \cos \beta=\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \beta=60^{\circ} \)

  • Ответ

    \(\ \beta=60^{\circ} \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ