Узнать цену работы
Статьи по теме

Котангенс двойного угла

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Формула для котангенса двойного угла

\(\ \operatorname{ctg} 2 \alpha=\frac{\operatorname{ctg}^{2} \alpha-1}{2 \operatorname{ctg} \alpha} \)

Вывод формулы котангенса двойного угла

Ее можно получить, используя формулу для котангенса суммы угловв

\(\ \operatorname{ctg}(\alpha+\beta)=\frac{\operatorname{ctg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \beta-1}{\operatorname{ctg} \beta+\operatorname{ctg} \alpha} \)

положив в ней \(\ \beta=\alpha \)

Действительно,

\(\ \operatorname{ctg} 2 \alpha=\operatorname{ctg}(\alpha+\alpha)=\frac{\operatorname{ctg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha-1}{\operatorname{ctg} \alpha+\operatorname{ctg} \alpha}=\frac{\operatorname{ctg}^{2} \alpha-1}{2 \operatorname{ctg} \alpha} \)

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

  • Задание

    Найти значение \(\ \operatorname{ctg} 2 \alpha \) , если известно, что \(\ \sin \alpha=\frac{1}{4} \), \(\ \alpha \) (лежит в первой четверти)

  • Решение

    Из основного тригонометрического тождества выразим значение косинуса угла \(\ \alpha \):

    \(\ \cos \alpha=\sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4} \)

    Теперь можно найти значение котангенса \(\ \alpha \):

    \(\ \operatorname{ctg} \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{\sqrt{15}}{4} : \frac{1}{4}=\sqrt{15} \)

    Воспользуемся формулой для котангенса двойного угла и подставим в него найденное значение котангенса:

    \(\ \operatorname{ctg} 2 \alpha=\frac{\operatorname{ctg}^{2} \alpha-1}{2 \operatorname{ctg} \alpha}=\frac{(\sqrt{15})^{2}-1}{2 \sqrt{15}}=\frac{14}{2 \sqrt{15}}=\frac{7}{\sqrt{15}} \)

  • Ответ

    \(\ \operatorname{ctg} 2 \alpha=\frac{7}{\sqrt{15}} \)

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Упростить выражение

    \(\ \frac{1+\operatorname{ctg} 2 \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{ctg} \alpha} \)

  • Решение

    Воспользуемся формулами

    \(\ \operatorname{ctg} 2 \alpha=\frac{\operatorname{ctg}^{2} \alpha-1}{2 \operatorname{ctg} \alpha} \); \(\ \operatorname{tg} \alpha=\frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} \)

    Преобразуем заданное выражение к виду

    \(\ \frac{1+\operatorname{ctg} 2 \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{ctg} \alpha}=\frac{1+\frac{\operatorname{ctg}^{2} \alpha-1}{2 \operatorname{ctg} \alpha} \cdot \operatorname{ctg} \alpha}{\frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha}+\operatorname{ctg} \alpha}=\frac{2+\operatorname{ctg}^{2} \alpha-1}{2 \cdot \frac{1+\operatorname{ctg} \alpha}{\operatorname{ctg} \alpha}}=\frac{\operatorname{ctg} \alpha}{2} \)

  • Ответ

    \(\ \frac{1+\operatorname{ctg} 2 \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{ctg} \alpha}=\frac{\operatorname{ctg} \alpha}{2} \)

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ