Котангенс двойного угла
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Формула для котангенса двойного угла
\(\
\operatorname{ctg} 2 \alpha=\frac{\operatorname{ctg}^{2} \alpha-1}{2 \operatorname{ctg} \alpha}
\)
Вывод формулы котангенса двойного угла
Ее можно получить, используя формулу для котангенса суммы угловв
\(\
\operatorname{ctg}(\alpha+\beta)=\frac{\operatorname{ctg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \beta-1}{\operatorname{ctg} \beta+\operatorname{ctg} \alpha}
\)
положив в ней \(\
\beta=\alpha
\)
Действительно,
\(\
\operatorname{ctg} 2 \alpha=\operatorname{ctg}(\alpha+\alpha)=\frac{\operatorname{ctg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha-1}{\operatorname{ctg} \alpha+\operatorname{ctg} \alpha}=\frac{\operatorname{ctg}^{2} \alpha-1}{2 \operatorname{ctg} \alpha}
\)
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Найти значение \(\
\operatorname{ctg} 2 \alpha
\) , если известно, что \(\
\sin \alpha=\frac{1}{4}
\), \(\
\alpha
\) (лежит в первой четверти)
Из основного тригонометрического тождества выразим значение косинуса угла \(\
\alpha
\):
\(\
\cos \alpha=\sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}
\)
Теперь можно найти значение котангенса \(\
\alpha
\):
\(\
\operatorname{ctg} \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{\sqrt{15}}{4} : \frac{1}{4}=\sqrt{15}
\)
Воспользуемся формулой для котангенса двойного угла и подставим в него найденное значение котангенса:
\(\
\operatorname{ctg} 2 \alpha=\frac{\operatorname{ctg}^{2} \alpha-1}{2 \operatorname{ctg} \alpha}=\frac{(\sqrt{15})^{2}-1}{2 \sqrt{15}}=\frac{14}{2 \sqrt{15}}=\frac{7}{\sqrt{15}}
\)
\(\
\operatorname{ctg} 2 \alpha=\frac{7}{\sqrt{15}}
\)
ПРИМЕР 2
Упростить выражение
\(\
\frac{1+\operatorname{ctg} 2 \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{ctg} \alpha}
\)
Воспользуемся формулами
\(\
\operatorname{ctg} 2 \alpha=\frac{\operatorname{ctg}^{2} \alpha-1}{2 \operatorname{ctg} \alpha}
\); \(\
\operatorname{tg} \alpha=\frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha}
\)
Преобразуем заданное выражение к виду
\(\
\frac{1+\operatorname{ctg} 2 \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{ctg} \alpha}=\frac{1+\frac{\operatorname{ctg}^{2} \alpha-1}{2 \operatorname{ctg} \alpha} \cdot \operatorname{ctg} \alpha}{\frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha}+\operatorname{ctg} \alpha}=\frac{2+\operatorname{ctg}^{2} \alpha-1}{2 \cdot \frac{1+\operatorname{ctg} \alpha}{\operatorname{ctg} \alpha}}=\frac{\operatorname{ctg} \alpha}{2}
\)
\(\
\frac{1+\operatorname{ctg} 2 \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{ctg} \alpha}=\frac{\operatorname{ctg} \alpha}{2}
\)