Котангенс половинного угла

Найти \(\ \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} \) , если \(\ \sin \alpha=\frac{1}{3} \) , угол \(\ \alpha \) лежит в первой четверти.

Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, найдем значение косинуса угла

\(\ \alpha : \)

\(\ \cos \alpha=\sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2 \sqrt{2}}{3} \)

Подставим значения синуса и косинуса в формулу для котангенса половинного угла, будем в результате иметь

\(\ \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{1+\frac{2 \sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}=3+2 \sqrt{2} \)

\(\ \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2}=3+2 \sqrt{2} \)

ПРИМЕР 2

Найти значение \(\ \operatorname{ctg} 75^{\circ} \)

Заметим, что \(\ 75^{\circ}=\frac{150^{\circ}}{2} \) . Поэтому можем записать, что

\(\ \operatorname{ctg} 75^{\circ}=\operatorname{ctg} \frac{150^{\circ}}{2} \)

Далее будем использовать формулу котангенса половинного угла:

\(\ \operatorname{ctg} 75^{\circ}=\operatorname{ctg} \frac{150^{\circ}}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos 150^{\circ}}{1-\cos 150^{\circ}}}=\sqrt{\frac{1+\cos \left(180^{\circ}-30^{\circ}\right)}{1-\cos \left(180^{\circ}-30^{\circ}\right)}}=\sqrt{\frac{1-\cos 30^{\circ}}{1+\cos 30^{\circ}}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}=\sqrt{\frac{(2-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}}=\sqrt{\frac{(2-\sqrt{3})^{2}}{4-3}}=2-\sqrt{3} \)