Котангенс половинного угла
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Формула для котангенса половинного угла
\(\
\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha}
\)
Также котангенс половинного угла можно записать в виде
\(\
\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}}
\)
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Найти \(\
\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2}
\) , если \(\
\sin \alpha=\frac{1}{3}
\) , угол \(\
\alpha
\) лежит в первой четверти.
Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, найдем значение косинуса угла
\(\
\alpha :
\)
\(\
\cos \alpha=\sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}
\)
Подставим значения синуса и косинуса в формулу для котангенса половинного угла, будем в результате иметь
\(\
\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{1+\frac{2 \sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}=3+2 \sqrt{2}
\)
\(\
\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2}=3+2 \sqrt{2}
\)
ПРИМЕР 2
Найти значение \(\
\operatorname{ctg} 75^{\circ}
\)
Заметим, что \(\
75^{\circ}=\frac{150^{\circ}}{2}
\) . Поэтому можем записать, что
\(\
\operatorname{ctg} 75^{\circ}=\operatorname{ctg} \frac{150^{\circ}}{2}
\)
Далее будем использовать формулу котангенса половинного угла:
\(\
\operatorname{ctg} 75^{\circ}=\operatorname{ctg} \frac{150^{\circ}}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos 150^{\circ}}{1-\cos 150^{\circ}}}=\sqrt{\frac{1+\cos \left(180^{\circ}-30^{\circ}\right)}{1-\cos \left(180^{\circ}-30^{\circ}\right)}}=\sqrt{\frac{1-\cos 30^{\circ}}{1+\cos 30^{\circ}}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}=\sqrt{\frac{(2-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}}=\sqrt{\frac{(2-\sqrt{3})^{2}}{4-3}}=2-\sqrt{3}
\)
\(\
\operatorname{ctg} 75^{\circ}=2-\sqrt{3}
\)