Котангенс угла

Определение и формула котангенса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Котангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего к этому углу катета к противолежащему катету.

Котангенс угла \(\ \alpha \) обозначается \(\ \operatorname{ctg} \alpha \)

Рис.1

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\ \mathrm{ABC} \) с \(\ \angle C=90^{\circ} \), \(\ \angle A=\alpha \), \(\ \angle B=\beta \) , гипотенузой \(\ A B=c \) и катетами \(\ A C=b \) и \(\ \mathrm{BC}=\mathrm{a} \) (рис.1). Тогда

\(\ \operatorname{ctg} \beta=\frac{B C}{A C}=\frac{a}{b} \), \(\ \operatorname{ctg} \alpha=\frac{A C}{B C}=\frac{b}{a} \) Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Выберем произвольный угол \(\ \alpha \) , которому на окружности соответствует точка \(\ A\left(x_{0}, y_{0}\right) \)

Опустим перпендикуляры на оси координат, тогда

\(\ \operatorname{ctg} \alpha=\frac{O B}{A B}=\frac{x_{0}}{y_{0}} \)

т.е. котангенсом угла есть отношение абсциссы точки \(\ \mathrm{A} \) к ее ординате. Так как синус угла равен значению ординаты точки \(\ \mathrm{A} \), а косинус угла равен значению абсциссы, то

\(\ \operatorname{ctg} \alpha=\frac{x_{0}}{y_{0}}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \)

Функция \(\ y=\operatorname{ctg} x \) является периодической с периодом \(\ T=\pi \) , т.е.

\(\ \operatorname{ctg}(\pi+\alpha)=\operatorname{ctg} \alpha \)

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Так как котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к противолежащему, то можем записать, что

\(\ \operatorname{ctg} \angle B=\frac{A B}{A C}=\frac{3}{5} \), \(\ \operatorname{ctg} \angle C=\frac{A C}{A B}=\frac{5}{3} \)

\(\ \operatorname{ctg} \angle B=\frac{3}{5} \), \(\ \operatorname{ctg} \angle C=\frac{5}{3} \)

ПРИМЕР 2

\(\ \operatorname{ctg} \alpha=5 \)