Узнать цену работы
Статьи по теме

Критерий совместности системы

ТЕОРЕМА

Теорема Кронекера-Капелли. СЛАУ является последовательным тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Пример

  • Задание: При каких значениях система будет совместной?

    \(\ \left\{\begin{array}{l}{2 x_{1}-x_{2}+x_{3}+x_{4}=1} \\ {x_{1}+2 x_{2}-x_{3}+x_{4}=2} \\ {x_{1}+7 x_{2}-4 x_{3}+2 x_{4}=\lambda}\end{array}\right. \)

  • Решение: Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения этой матрицы к ступенчатой форме. Поэтому мы пишем расширенную матрицу системы \(\ \overline{A} \) (системная матрица находится слева от вертикальной черты А):

    \(\ \overline{A}=\left( \begin{array}{rrrr|r}{2} & {-1} & {1} & {1} & {1} \\ {1} & {2} & {-1} & {1} & {2} \\ {1} & {7} & {-4} & {2} & {\lambda}\end{array}\right) \)

    и используя элементарные преобразования, мы приводим его к ступенчатой форме. Для этого сначала вычитаем две вторые строки из первой строки, а вторую из третьей, в результате получаем:

    \(\ \overline{A} \sim \left( \begin{array}{rrrr|r}{0} & {-5} & {3} & {-1} & {-3} \\ {1} & {2} & {-1} & {1} & {2} \\ {0} & {5} & {-3} & {1} & {\lambda-2}\end{array}\right)_{+I} \sim \)

    Третья строка дополнена первой:

    \(\ \overline{A} \sim \left( \begin{array}{rrrr|r}{0} & {-5} & {3} & {-1} & {-3} \\ {1} & {2} & {-1} & {1} & {2} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {\lambda-5}\end{array}\right) \)

    и поменять местами первую и вторую строки матрицы

    \(\ \overline{A} \sim \left( \begin{array}{rrrr|r}{1} & {2} & {-1} & {1} & {2} \\ {0} & {-5} & {3} & {-1} & {-3} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {\lambda-5}\end{array}\right) \)

    Матрица сводится к ступенчатому виду. Мы получаем, \(\ \operatorname{rang} A=2 \quad \operatorname{rang} \widetilde{A}=\left\{\begin{array}{l}{2, \lambda=5} \\ {3, \lambda \neq 5}\end{array}\right. \). Таким образом, когда \(\ \lambda=5 \) система является совместной, а при \(\ \lambda \neq 5 \)- несрвместна

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ