Куб суммы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Куб суммы двух выражений равен кубу первого, плюс утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, плюс куб второй.
\(\
(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}
\)
Или эта формула также действительна в виде:
\(\
a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}=(a+b)^{3}
\)
Примеры решения проблем на тему «Сумма куба»
ПРИМЕР 1
Представить в виде многочлена стандартной формы \(\
(a+3 b)^{3}
\)
Используйте сокращенную формулу умножения «сумма куба»:
\(\
(a+3 b)^{3}=a^{3}+3 \cdot a^{2} \cdot 3 b+3 \cdot a \cdot(3 b)^{2}+(3 b)^{3}=a^{3}+9 a^{2} b+27 a b^{2}+27 b^{3}
\)
\(\
(a+3 b)^{3}=a^{3}+9 a^{2} b+27 a b^{2}+27 b^{3}
\)
Эта формула также может быть использована для чисел куба, если их можно разложить на термы, степени которых легко вычислить.
ПРИМЕР 2
Рассчитать \(\
32^{3}
\)
Для решения мы будем использовать сокращенную формулу умножения «куб суммы», для этого мы представляем 32 как 30 + 2. В результате получаем:
\(\
32^{3}=(30+2)^{3}=30^{3}+3 \cdot 30^{2} \cdot 2+3 \cdot 30 \cdot 2^{2}+2^{3}=
\)
\(\
=27000+3 \cdot 900 \cdot 2+3 \cdot 30 \cdot 4+8=27000+5400+360+8=32768
\)
Чтобы найти \(\
30^{3}
\) , было использовано свойство степеней:
\(\
30^{3}=(3 \cdot 10)^{3}=3^{3} \cdot 10^{3}=27 \cdot 1000=27000
\)
\(\
32^{3}=32768
\)