Квадрат суммы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Квадрат суммы бинома равен квадрату первого слагаемого плюс удвоенное произведение первого на второй плюс квадрат второго слагаемого.
\(\
(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}
\)
Выражение \(\
a^{2}+2 a b+b^{2}
\) называется суммой суммарного квадрата.
Примеры решения проблем на тему «Сумма квадрата»
ПРИМЕР 1
Построить квадрат двучлена Используя формулу «сумма квадрата», мы получим:
\(\
(3 x+2 y)^{2}=(3 x)^{2}+2 \cdot 3 x \cdot 2 y+(2 y)^{2}=9 x^{2}+12 x y+4 y^{2}
\)
Целесообразно выполнять промежуточные вычисления в устной форме, что, во-первых, уменьшает регистрацию решения и, во-вторых, время его реализации, то есть сразу пишут, что
\(\
(3 x+2 y)^{2}=9 x^{2}+12 x y+4 y^{2}
\)
\(\
(3 x+2 y)^{2}=9 x^{2}+12 x y+4 y^{2}
\)
Формула для квадрата суммы также верна в «противоположном направлении», т. е. Равенство
\(\
a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2}
\)
ПРИМЕР 2
Представить выражение \(\
x^{2}+6 x y+9 y^{2}
\) в виде биномиальной степени.
Перепишем данное выражение следующим образом:
\(\
x^{2}+6 x y+9 y^{2}=x^{2}+2 \cdot x \cdot 3 y+(3 y)^{2}
\)
Затем, применяя формулу «квадрат суммы», мы будем иметь:
\(\
x^{2}+6 x y+9 y^{2}=(x+3 y)^{2}
\)
\(\
x^{2}+6 x y+9 y^{2}=(x+3 y)^{2}
\)
Геометрическое доказательство
Для положительных чисел \(\
a
\) и \(\
b
\) древние греки доказали формулу \(\
(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}
\) геометрически (рис.1).
Так как площадь квадрата со стороной \(\
a+b
\) равна сумме площадей двух квадратов со сторонами \(\
\mathrm{a}
\) и \(\
\mathrm{b}
\) соответственно (площадь первого равна \(\
a^{2}
\) и вторая \(\
b^{2}
\) , а также два прямоугольника со сторонами \(\
\mathrm{a}
\) и \(\
\mathrm{b}
\), районы которых равны \(\
a b
\).
