Узнать цену работы
Статьи по теме

Линейные дифференциальные уравнения

Определение и формулы линейных дифференциальных уравнений

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Дифференциальное уравнение вида \(\ y^{\prime}+f(x) y=g(x) \) (1) где \(\ f(x) \), \(\ g(x) \) - непрерывные функции от переменной x, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Например: \(\ y^{\prime}+\frac{y}{x}=2 \)

Далее мы рассмотрим два метода решения этих уравнений: используя интегрирующий множитель и метод постоянной вариации.

Метод с использованием интегрирующего фактораd

Для линейного дифференциального уравнения (1) интегрирующий множитель определяется формулой: \(\ u(x)=e^{\int f(x) d x} \)

Умножая левую часть этого уравнения на интегрирующий множитель \(\ u(x) \) ,он преобразует его в производную от произведения функций \(\ y(x) \) и \(\ (x) \). Тогда общее решение дифференциального уравнения: \(\ y(x)=\int u(x) g(x) d x+C u(x) \)

Метод постоянной вариации

Сначала мы найдем общее решение однородного дифференциального уравнения. \(\ y^{\prime}+f(x) y=0 \)

Общее решение этого уравнения содержит константу интегрирования \(\ C \). Затем мы заменим константу \(\ C \) некоторой функцией \(\ C(x) \) ,которая должна быть найдена. Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение (1), определим функцию \(\ C(x) \)

Примеры решения проблем

ПРИМЕР

  • Задание

    Решить уравнение \(\ y^{\prime}-y=x e^{x} \)

  • Решение

    Найдем решение данного уравнения с помощью интегрируемого множителя. Для данного уравнения \(\ f(x)=-1 \),\(\ g(x)=x e^{x} \) затем \(\ u(x)=e^{\int(-1) d x}=e^{-\int d x}=e^{-x} \)

    И тогда желаемое решение \(\ y(x)=\int e^{-x} \cdot x e^{x} d x+C e^{-x}=\int x d x+C e^{-x}=\frac{x^{2}}{2}+C e^{-x} \)

  • Ответ \(\ y(x)=\frac{x^{2}}{2}+C e^{-x} \)

    ПРИМЕР

  • Задача
  • решения дифференциального уравнения \(\ x y^{\prime}=y+2 x^{3} \)

  • Решение

    Решение этой задачи будет искать метод вариации константы.

    Мы дадим данное уравнение стандартной форме: \(\ x y^{\prime}-y=2 x^{3} \Rightarrow y^{\prime}-\frac{y}{x}=2 x^{2} \)

    Сначала мы найдем общее решение однородного уравнения \(\ y^{\prime}-\frac{y}{x}=0 \)

    Это дифференциальное уравнение с сепарабельными переменными. Поэтому мы их разделяем: \(\ \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x} \Rightarrow \frac{d y}{y}=\frac{d x}{x} \)

    Общий интеграл уравнения \(\ \int \frac{d y}{y}=\int \frac{d x}{x} \Rightarrow \ln |y|=\ln |x|+\ln |C|=\ln |C x| \Rightarrow y=C x \)

    Теперь мы находим решение исходного неоднородного дифференциального уравнения. Для этого мы меняем константу интегрирования \(\ \mathrm{C} \), мы предполагаем, что она является функцией переменной \(\ \mathbf{x} \), то есть \(\ C=C(x) \) .Тогда решение исходного неоднородного уравнения принимает вид \(\ y(x)=C(x) x \), \(\ y^{\prime}(x)=C^{\prime}(x) x+C(x) \)

    Поскольку функция \(\ y(x) \) является решением, она должна удовлетворять заданному уравнению, то \(\ y^{\prime}-\frac{y}{x}=2 x^{2} \Rightarrow C^{\prime} x+C-\frac{C x}{x}=2 x^{2} \)

    После упрощения получаем: \(\ C^{\prime} x+C-C=2 x^{2} \Rightarrow C^{\prime} x=2 x^{2} \Rightarrow C^{\prime}=2 x \)

    То есть \(\ C(x)=\int 2 x d x=x^{2}+C_{1} \)

    Таким образом, общее решение данного уравнения \(\ y(x)=\left(x^{2}+C_{1}\right) x \)

  • Ответ\(\ y(x)=\left(x^{2}+C_{1}\right) x \)
  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ