Линейные дифференциальные уравнения
Определение и формулы линейных дифференциальных уравнений
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дифференциальное уравнение вида
\(\
y^{\prime}+f(x) y=g(x)
\) (1)
где \(\
f(x)
\), \(\
g(x)
\) - непрерывные функции от переменной x, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.
Например: \(\
y^{\prime}+\frac{y}{x}=2
\)
Далее мы рассмотрим два метода решения этих уравнений: используя интегрирующий множитель и метод постоянной вариации.
Метод с использованием интегрирующего фактораd
Для линейного дифференциального уравнения (1) интегрирующий множитель определяется формулой:
\(\
u(x)=e^{\int f(x) d x}
\)
Умножая левую часть этого уравнения на интегрирующий множитель \(\
u(x)
\) ,он преобразует его в производную от произведения функций \(\
y(x)
\) и \(\
(x)
\). Тогда общее решение дифференциального уравнения:
\(\
y(x)=\int u(x) g(x) d x+C u(x)
\)
Метод постоянной вариации
Сначала мы найдем общее решение однородного дифференциального уравнения.
\(\
y^{\prime}+f(x) y=0
\)
Общее решение этого уравнения содержит константу интегрирования \(\
C
\). Затем мы заменим константу \(\
C
\) некоторой функцией \(\
C(x)
\) ,которая должна быть найдена. Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение (1), определим функцию \(\
C(x)
\)
Примеры решения проблем
ПРИМЕР
Решить уравнение \(\
y^{\prime}-y=x e^{x}
\)
Найдем решение данного уравнения с помощью интегрируемого множителя. Для данного уравнения \(\
f(x)=-1
\),\(\
g(x)=x e^{x}
\) затем
\(\
u(x)=e^{\int(-1) d x}=e^{-\int d x}=e^{-x}
\)
И тогда желаемое решение
\(\
y(x)=\int e^{-x} \cdot x e^{x} d x+C e^{-x}=\int x d x+C e^{-x}=\frac{x^{2}}{2}+C e^{-x}
\)
ПРИМЕР
Решение этой задачи будет искать метод вариации константы.
Мы дадим данное уравнение стандартной форме:
\(\
x y^{\prime}-y=2 x^{3} \Rightarrow y^{\prime}-\frac{y}{x}=2 x^{2}
\)
Сначала мы найдем общее решение однородного уравнения
\(\
y^{\prime}-\frac{y}{x}=0
\)
Это дифференциальное уравнение с сепарабельными переменными. Поэтому мы их разделяем:
\(\
\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x} \Rightarrow \frac{d y}{y}=\frac{d x}{x}
\)
Общий интеграл уравнения
\(\
\int \frac{d y}{y}=\int \frac{d x}{x} \Rightarrow \ln |y|=\ln |x|+\ln |C|=\ln |C x| \Rightarrow y=C x
\)
Теперь мы находим решение исходного неоднородного дифференциального уравнения. Для этого мы меняем константу интегрирования \(\
\mathrm{C}
\), мы предполагаем, что она является функцией переменной \(\
\mathbf{x}
\), то есть \(\
C=C(x)
\) .Тогда решение исходного неоднородного уравнения принимает вид \(\
y(x)=C(x) x
\),
\(\
y^{\prime}(x)=C^{\prime}(x) x+C(x)
\)
Поскольку функция \(\
y(x)
\) является решением, она должна удовлетворять заданному уравнению, то
\(\
y^{\prime}-\frac{y}{x}=2 x^{2} \Rightarrow C^{\prime} x+C-\frac{C x}{x}=2 x^{2}
\)
После упрощения получаем:
\(\
C^{\prime} x+C-C=2 x^{2} \Rightarrow C^{\prime} x=2 x^{2} \Rightarrow C^{\prime}=2 x
\)
То есть
\(\
C(x)=\int 2 x d x=x^{2}+C_{1}
\)
Таким образом, общее решение данного уравнения
\(\
y(x)=\left(x^{2}+C_{1}\right) x
\)