Медиана треугольника
Определение и формулы медианы треугольника
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Медиана треугольника - это сегмент, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны этого треугольника.
Для медианов треугольника справедливы следующие утверждения:
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в соотношении 2: 1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
Медиана делит треугольник на два треугольника с одинаковой площадью
Весь треугольник делится на его медианы на шесть треугольников равного размера.
В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная на основание, представляет собой высоту и биссектрису.
В равностороннем треугольнике любая медиана - это высота и биссектриса.
Формула для вычисления медианы
\(\
m_{c}=\frac{1}{2} \sqrt{2 a^{2}+2 b^{2}-c^{2}}
\)
где c - сторона треугольника, на которую изображена медиана, a, b - две другие стороны рассматриваемого треугольника
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
В треугольнике \(\
\mathrm{ABC}
\) стороны \(\
\mathrm{AB = 4 см}
\), \(\
\mathrm{AC = 3 см}
\) и \(\
\angle A=60^{\circ}
\) .Найдите медианную тянущуюся сторону \(\
\mathrm{BC}
\).
На рисунке 1 показан треугольник \(\
\mathrm{ABC}
\), в котором вырисовывается медиана \(\
\mathrm{AL}
\). Мы используем теорему косинуса и находим сторону \(\
\mathrm{BC}
\):
\(\
B C^{2}=A B^{2}+A C^{2}-2 A B \cdot A C \cdot \cos A=16+9-2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}=13
\)
те. $\(\
\mathrm{BC}=B C=\sqrt{13}
\) см.
Затем мы используем формулу для вычисления медианы \(\
\mathrm{AL}
\):
\(\
A L=\frac{1}{2} \sqrt{2 A B^{2}+2 A C^{2}-B C^{2}}=\frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 16+2 \cdot 9-13}=\frac{37}{2}=18,5
\) см
\(\
\mathrm{AL}=18.5
\)см.
ПРИМЕР 2
В треугольнике \(\
\mathrm{ABC}
\) стороны \(\
A B=5
\) см, \(\
A C=6
\) см и медиане \(\
\mathrm{BL}=4
\) см. Найдите область треугольника \(\
\mathrm{ABC}
\).
Так как \(\
B L
\) - медиана треугольника,
\(\
A L=L C=\frac{1}{2} A C=3 \mathrm{cm}
\)
Рассмотрим треугольник \(\
\mathrm{ABL}
\) и найдите его область, используя формулу Херона:
\(\
S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-b)}
\)
где \(\
p=\frac{1}{2}(A B+B L+A L)=6
\) см. является полупериодом, \(\
\mathrm{a}=\mathrm{AB}=5
\)см, \(\
\mathrm{b}=\mathrm{BL}=4
\)см, \(\
c=A L=3
\) см. Подставим все данные в формулу и получим
\(\
S=\sqrt{6(6-5)(6-4)(6-3)}=6 \mathrm{см}^{3}
\)
Медиана \(\
\mathrm{BL}
\) делит треугольник \(\
\mathrm{ABC}
\) на два треугольника равного размера, т. е. \(\
S_{A B L}=S_{B C L}
\) см2, откуда следует, что
\(\
S_{A B C}=2 S_{A B L}=12
\)см2
\(\
S_{A B C}=12
\) см.