Узнать цену работы
Статьи по теме

Методы решения интегралов

Методы решения интегралов

1. Прямая интеграция

Прямое интегрирование - это метод интегрирования, в котором подынтегральное выражение задается с помощью идентичных преобразований и применения свойств интеграла к одному или нескольким табличным интегралам.

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Поиски Интеграла

    \(\ \int \frac{x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +x \sin x}{x} d x \)

  • Решение

    разделит функцию подынтегральной функции:

    \(\ \int \frac{x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +x \sin x}{x} d x=\int\left(\frac{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }{x}+\frac{x \sin x}{x}\right) d x=\int(x+\sin x) d x \)

    Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

    \(\ \int \frac{x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +x \sin x}{x} d x=\int x d x+\int \sin x d x \)

    Получил сумму табличных интегралов, поэтому мы имеем:

    \(\ \int \frac{x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +x \sin x}{x} d x=\frac{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -\cos x+C \)

  • Ответ

    \(\ \int \frac{x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +x \sin x}{x} d x=\frac{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -\cos x+C \)

    2. Метод суммирования знака дифференциала

    Метод суммирования знака дифференциала. Этот метод эквивалентен методу подстановки.

    Если \(\ f(x)=v(u(x)) \) , то

    \(\ \int f(x) d x=\int v(u(x)) d x \cdot \frac{d(u(x))}{d(u(x))}=\int v(u(x)) \cdot \frac{d(u(x))}{\frac{d(u(x))}{d x}}=\int v(u(x)) \cdot \frac{d(u(x))}{u^{\prime}(x)} \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Решить интеграл \(\ \int x \sin x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    d x \)

  • Решение.

    Введем \(\ x \) под знаком дифференциала:

    \(\ x d x=d\left(\frac{x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right)=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    d\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right) \)

    Тогда мы получим:

    \(\ \int x \sin x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    d x=\int \sin x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \cdot \frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    d\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right)=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \int \sin x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    d\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right) \)

    Согласно таблице интегралов

    \(\ \int \sin t d t=-\cos t+C \)

    Тогда в \(\ t=x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \) имеем:

    \(\ \int x \sin x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    d x=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \int \sin x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    d\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right)=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \cdot\left(-\cos x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right)+C=-\frac{\cos x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +C \)

  • Ответ

    \(\ \int x \sin x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    d x=-\frac{\cos x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +C \)

    Подробнее о методе суммирования дифференциального знака на ссылке.

    3. Переменный метод замены или метод подстановки

    Метод замены или метод замены. Этот метод состоит в введении новой переменной интеграции (т. е. Делается замена). В этом случае данный интеграл сводится к новому интегралу, который является табличным или может быть сведен к табличному с использованием преобразований.

    Предположим, вы хотите вычислить интеграл \(\ \int f(x) d x \) . Сделаем замену \(\ x=\phi(t) \) . Тогда \(\ d x=\phi^{\prime}(t) d t \) и интеграл принимает вид:

    \(\ \int f(x) d x=\int f(\phi(t)) \cdot \phi^{\prime}(t) d t \)

    ПРИМЕР 3

  • Задача

    Поиски Интеграла

    \(\ \int \frac{\ln x}{x} d x \)

  • Решение.

    Как видим, под знаком интеграла существует функция \(\ f(x)=\ln x \) и ее производная \(\ f^{\prime}(x)=(\ln x)^{\prime}=\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {x} \) . Затем сделаем замену переменных \(\ \ln x=t \) , тогда дифференциал равен \(\ \frac{d x}{x}=d t \)

    Итак, интеграл принимает вид:

    \(\ \int \frac{\ln x}{x} d x=\int \ln x \cdot \frac{d x}{x}=\int t d t=\frac{t^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +C \)

    Неопределенный интеграл зависит от переменной интегрирования, поэтому мы делаем обратную замену \(\ t=\ln x \) :

    \(\ \int \frac{\ln x}{x} d x=\frac{\ln ^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    x}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +C \)

  • Ответ

    \(\ \int \frac{\ln x}{x} d x=\frac{\ln ^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    x}
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +C \)

    4. Метод интеграции по частям

    Метод интегрирования по частям. Этот метод основан на следующей формуле:

    \(\ \int u d v=u v-\int v d u \)

    или же

    \(\ \int u(x) v^{\prime}(x) d x=u(x) v(x)-\int v(x) u^{\prime}(x) d x \)

    В этом случае предполагается, что поиск интеграла \(\ \int v d u \) проще начального интеграла \(\ \int u d v \) . В противном случае использование метода неоправданно.

    ПРИМЕР 4

  • Задача

    Решите интеграл \(\ \int x \sin x d x \)

  • Решение.

    Мы применяем метод интеграции по частям:

    \(\ \int x \sin x d x\left\|\begin{array}{cc}{u=x} & {d v=\sin x d x} \\ {d u=d x} & {v=-\cos x}\end{array}\right\|=x \cdot(-\cos x)-\int(-\cos x) d x= \)

    \(\ =-x \cos x+\int \cos x d x=-x \cos x+\sin x+C \)

  • Ответ

    \(\ \int x \sin x d x=-x \cos x+\sin x+C \)

  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы