Методы решения интегралов
Методы решения интегралов
1. Прямая интеграция
Прямое интегрирование - это метод интегрирования, в котором подынтегральное выражение задается с помощью идентичных преобразований и применения свойств интеграла к одному или нескольким табличным интегралам.
ПРИМЕР 1
Поиски Интеграла
\(\
\int \frac{x^{2}+x \sin x}{x} d x
\)
разделит функцию подынтегральной функции:
\(\
\int \frac{x^{2}+x \sin x}{x} d x=\int\left(\frac{x^{2}}{x}+\frac{x \sin x}{x}\right) d x=\int(x+\sin x) d x
\)
Интеграл от суммы равен сумме интегралов:
\(\
\int \frac{x^{2}+x \sin x}{x} d x=\int x d x+\int \sin x d x
\)
Получил сумму табличных интегралов, поэтому мы имеем:
\(\
\int \frac{x^{2}+x \sin x}{x} d x=\frac{x^{2}}{2}-\cos x+C
\)
\(\
\int \frac{x^{2}+x \sin x}{x} d x=\frac{x^{2}}{2}-\cos x+C
\)
2. Метод суммирования знака дифференциала
Метод суммирования знака дифференциала. Этот метод эквивалентен методу подстановки. Если \(\
f(x)=v(u(x))
\) , то
\(\
\int f(x) d x=\int v(u(x)) d x \cdot \frac{d(u(x))}{d(u(x))}=\int v(u(x)) \cdot \frac{d(u(x))}{\frac{d(u(x))}{d x}}=\int v(u(x)) \cdot \frac{d(u(x))}{u^{\prime}(x)}
\)
ПРИМЕР 2
Решить интеграл \(\
\int x \sin x^{2} d x
\)
Введем \(\
x
\) под знаком дифференциала:
\(\
x d x=d\left(\frac{x^{2}}{2}\right)=\frac{1}{2} d\left(x^{2}\right)
\)
Тогда мы получим:
\(\
\int x \sin x^{2} d x=\int \sin x^{2} \cdot \frac{1}{2} d\left(x^{2}\right)=\frac{1}{2} \int \sin x^{2} d\left(x^{2}\right)
\)
Согласно таблице интегралов
\(\
\int \sin t d t=-\cos t+C
\)
Тогда в \(\
t=x^{2}
\) имеем:
\(\
\int x \sin x^{2} d x=\frac{1}{2} \int \sin x^{2} d\left(x^{2}\right)=\frac{1}{2} \cdot\left(-\cos x^{2}\right)+C=-\frac{\cos x^{2}}{2}+C
\)
\(\
\int x \sin x^{2} d x=-\frac{\cos x^{2}}{2}+C
\)
Подробнее о методе суммирования дифференциального знака на ссылке.
3. Переменный метод замены или метод подстановки
Метод замены или метод замены. Этот метод состоит в введении новой переменной интеграции (т. е. Делается замена). В этом случае данный интеграл сводится к новому интегралу, который является табличным или может быть сведен к табличному с использованием преобразований.
Предположим, вы хотите вычислить интеграл \(\
\int f(x) d x
\) . Сделаем замену \(\
x=\phi(t)
\) . Тогда \(\
d x=\phi^{\prime}(t) d t
\) и интеграл принимает вид:
\(\
\int f(x) d x=\int f(\phi(t)) \cdot \phi^{\prime}(t) d t
\)
ПРИМЕР 3
Поиски Интеграла
\(\
\int \frac{\ln x}{x} d x
\)
Как видим, под знаком интеграла существует функция \(\
f(x)=\ln x
\) и ее производная \(\
f^{\prime}(x)=(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}
\) . Затем сделаем замену переменных \(\
\ln x=t
\) , тогда дифференциал равен \(\
\frac{d x}{x}=d t
\)
Итак, интеграл принимает вид:
\(\
\int \frac{\ln x}{x} d x=\int \ln x \cdot \frac{d x}{x}=\int t d t=\frac{t^{2}}{2}+C
\)
Неопределенный интеграл зависит от переменной интегрирования, поэтому мы делаем обратную замену \(\
t=\ln x
\) :
\(\
\int \frac{\ln x}{x} d x=\frac{\ln ^{2} x}{2}+C
\)
\(\
\int \frac{\ln x}{x} d x=\frac{\ln ^{2} x}{2}+C
\)
4. Метод интеграции по частям
Метод интегрирования по частям. Этот метод основан на следующей формуле:
\(\
\int u d v=u v-\int v d u
\)
или же
\(\
\int u(x) v^{\prime}(x) d x=u(x) v(x)-\int v(x) u^{\prime}(x) d x
\)
В этом случае предполагается, что поиск интеграла \(\
\int v d u
\) проще начального интеграла \(\
\int u d v
\) . В противном случае использование метода неоправданно.
ПРИМЕР 4
Решите интеграл \(\
\int x \sin x d x
\)
Мы применяем метод интеграции по частям:
\(\
\int x \sin x d x\left\|\begin{array}{cc}{u=x} & {d v=\sin x d x} \\ {d u=d x} & {v=-\cos x}\end{array}\right\|=x \cdot(-\cos x)-\int(-\cos x) d x=
\)
\(\
=-x \cos x+\int \cos x d x=-x \cos x+\sin x+C
\)
\(\
\int x \sin x d x=-x \cos x+\sin x+C
\)