Монотонность функции. Возрастание и убывание
Увеличение и уменьшение функций в интервале
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция называется ростом в интервале
\(\
(a ; b)
\) , если большое значение аргумента соответствует большему значению функции, т. Е. Для любой пары \(\
x_{1}, x_{2} \in(a, b)
\) , для которой \(\
x_{1}>x_{2}
\) неравенство \(\
f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)
\)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция называется убывающей в интервале \(\
(a, b)
\) , если большое значение аргумента соответствует меньшему значению функции, т. e. Для любой пары \(\
x_{1}, x_{2} \in(a, b)
\) , для которой выполняется \(\
x_{1}>x_{2}
\) , \(\
f\left(x_{1}\right) < f\left(x_{2}\right)
\)
Монотонная функция
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция называется монотонной на интервале, если она либо возрастает, либо убывает в этом интервале.
Достаточное условие монотонности функции. Пусть функция \(\
f(x)
\) определена и дифференцируема в интервале \(\
(a ; b)
\) . Для того чтобы функция возрастала в интервале \(\
(a ; b)
\) , достаточно, чтобы \(\
f^{\prime}(x)>0
\) для всех \(\
x \in(a, b)
\)
Чтобы уменьшить функцию, достаточно, чтобы \(\
f^{\prime}(x)<0
\) для всех \(\
x \in(a, b)
\)
Чтобы изучить функцию \(\
f(x)
\) на монотонии, необходимо:
1. найти его производную \(\
f(x)
\) ;
2. Найти критические точки функции в качестве решения уравнения \(\
f^{\prime}(x)=0
\)
3. определить знак производной на каждом из интервалов, в которые критические точки делят область определения функции;
4. в соответствии с достаточным условием монотонности функции для определения интервалов возрастания и убывания.
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
Чтобы найти интервалы монотонности функции \(\
f(x)=3+9 x^{2}-x^{3}
\)
Эта функция определена на всей оси чисел. Найти производную от данной функции.
\(\
f^{\prime}(x)=18 x-3 x^{2}
\)
Найти критические точки, для этого мы решим уравнение
\(\
18 x-3 x^{2}=0 \Leftrightarrow 3 x(6-x)=0 \Leftrightarrow x_{1}=0 ; x_{2}=6
\)
Эти точки делят область на три интервала, помещают их в таблицу:
\(\
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x&(-\infty ; 0)& (0 ; 6)& (6 ;+\infty)\\ \hline
f^{\prime}(x)&-&+&-\\ \hline
f(x)&убывает&возрастает&убывает\\ \hline
\end{array}
\)
Функция \(\
f(x)=3+9 x^{2}-x^{3}
\) возрастает на интервале \(\
(0 ; 6)
\) и уменьшается на отрезках \(\
(-\infty ; 0)
\), \(\
(6 ;+\infty)
\)
ПРИМЕР 2
Определить интервалы увеличения и уменьшения функции
\(\
y=\frac{x^{2}+1}{x}
\)
Область определения функции решения \(\
D(y) : x \in(-\infty ; 0) \cup(0 ;+\infty)
\)
Вычислить производную данной функции
\(\
y^{\prime}=\frac{2 x \cdot x-1 \cdot\left(x^{2}+1\right)}{x}=\frac{x^{2}-1}{x}
\)
Приравняем производную производную к нулю и найдем корни полученного уравнения
\(\
\frac{x^{2}-1}{x}=0 \Leftrightarrow \frac{(x+1)(x-1)}{x}=0 \Leftrightarrow x \neq 0 ; x_{1}=-1 ; x_{2}=1
\)
Мы получаем четыре интервала, мы привезем их в таблицу.
\(\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x&(-\infty ;-1)& (-1 ; 0)& (0 ; 1)& (1 ;+\infty)\\ \hline
y^{\prime}&-&+&-&+\\ \hline
y&убывает&возрастает&убывает&возрастает\\ \hline
\end{array}
\)
Функция \(\
y=\frac{x^{2}+1}{x}
\) возрастает на интервалах \(\
(-1 ; 0)
\), \(\
(1 ;+\infty)
\) и уменьшается на отрезках \(\
(-\infty ;-1)
\), \(\
(1 ;+\infty)
\)