Монотонность функции. Возрастание и убывание
Увеличение и уменьшение функций в интервале
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция называется ростом в интервале
\(\
(a ; b)
\) , если большое значение аргумента соответствует большему значению функции, т. Е. Для любой пары \(\
x_
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция называется убывающей в интервале \(\
(a, b)
\) , если большое значение аргумента соответствует меньшему значению функции, т. e. Для любой пары \(\
x_
Монотонная функция
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция называется монотонной на интервале, если она либо возрастает, либо убывает в этом интервале.
Достаточное условие монотонности функции. Пусть функция \(\
f(x)
\) определена и дифференцируема в интервале \(\
(a ; b)
\) . Для того чтобы функция возрастала в интервале \(\
(a ; b)
\) , достаточно, чтобы \(\
f^{\prime}(x)>0
\) для всех \(\
x \in(a, b)
\)
Чтобы уменьшить функцию, достаточно, чтобы \(\
f^{\prime}(x)<0
\) для всех \(\
x \in(a, b)
\)
Чтобы изучить функцию \(\
f(x)
\) на монотонии, необходимо:
1. найти его производную \(\
f(x)
\) ;
2. Найти критические точки функции в качестве решения уравнения \(\
f^{\prime}(x)=0
\)
3. определить знак производной на каждом из интервалов, в которые критические точки делят область определения функции;
4. в соответствии с достаточным условием монотонности функции для определения интервалов возрастания и убывания.
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
Чтобы найти интервалы монотонности функции \(\
f(x)=3+9 x^
Эта функция определена на всей оси чисел. Найти производную от данной функции.
\(\
f^{\prime}(x)=18 x-3 x^
Найти критические точки, для этого мы решим уравнение
\(\
18 x-3 x^
Эти точки делят область на три интервала, помещают их в таблицу:
\(\
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x&(-\infty ; 0)& (0 ; 6)& (6 ;+\infty)\\ \hline
f^{\prime}(x)&-&+&-\\ \hline
f(x)&убывает&возрастает&убывает\\ \hline
\end{array}
\)
Функция \(\
f(x)=3+9 x^
ПРИМЕР 2
Определить интервалы увеличения и уменьшения функции
\(\
y=\frac{x^
Область определения функции решения \(\
D(y) : x \in(-\infty ; 0) \cup(0 ;+\infty)
\)
Вычислить производную данной функции
\(\
y^{\prime}=\frac{2 x \cdot x-1 \cdot\left(x^
Приравняем производную производную к нулю и найдем корни полученного уравнения
\(\
\frac{x^
Мы получаем четыре интервала, мы привезем их в таблицу.
\(\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x&(-\infty ;-1)& (-1 ; 0)& (0 ; 1)& (1 ;+\infty)\\ \hline
y^{\prime}&-&+&-&+\\ \hline
y&убывает&возрастает&убывает&возрастает\\ \hline
\end{array}
\)
Функция \(\
y=\frac{x^
