Узнать цену работы
Статьи по теме

Монотонность функции. Возрастание и убывание

Увеличение и уменьшение функций в интервале

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Функция называется ростом в интервале \(\ (a ; b) \) , если большое значение аргумента соответствует большему значению функции, т. Е. Для любой пары \(\ x_

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
, x_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
\in(a, b) \) , для которой \(\ x_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
>x_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
\) неравенство \(\ f\left(x_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right)>f\left(x_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
\right) \)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Функция называется убывающей в интервале \(\ (a, b) \) , если большое значение аргумента соответствует меньшему значению функции, т. e. Для любой пары \(\ x_

Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
, x_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
\in(a, b) \) , для которой выполняется \(\ x_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
>x_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
\) , \(\ f\left(x_
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\right) < f\left(x_
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
\right) \)

Монотонная функция

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Функция называется монотонной на интервале, если она либо возрастает, либо убывает в этом интервале.

Достаточное условие монотонности функции. Пусть функция \(\ f(x) \) определена и дифференцируема в интервале \(\ (a ; b) \) . Для того чтобы функция возрастала в интервале \(\ (a ; b) \) , достаточно, чтобы \(\ f^{\prime}(x)>0 \) для всех \(\ x \in(a, b) \)

Чтобы уменьшить функцию, достаточно, чтобы \(\ f^{\prime}(x)<0 \) для всех \(\ x \in(a, b) \)

Чтобы изучить функцию \(\ f(x) \) на монотонии, необходимо:

1. найти его производную \(\ f(x) \) ;

2. Найти критические точки функции в качестве решения уравнения \(\ f^{\prime}(x)=0 \)

3. определить знак производной на каждом из интервалов, в которые критические точки делят область определения функции;

4. в соответствии с достаточным условием монотонности функции для определения интервалов возрастания и убывания.

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Чтобы найти интервалы монотонности функции \(\ f(x)=3+9 x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -x^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \)

  • Решение

    Эта функция определена на всей оси чисел. Найти производную от данной функции.

    \(\ f^{\prime}(x)=18 x-3 x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    Найти критические точки, для этого мы решим уравнение

    \(\ 18 x-3 x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =0 \Leftrightarrow 3 x(6-x)=0 \Leftrightarrow x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =0 ; x_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =6 \)

    Эти точки делят область на три интервала, помещают их в таблицу:

    \(\ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x&(-\infty ; 0)& (0 ; 6)& (6 ;+\infty)\\ \hline f^{\prime}(x)&-&+&-\\ \hline f(x)&убывает&возрастает&убывает\\ \hline \end{array} \)

  • Ответ.

    Функция \(\ f(x)=3+9 x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -x^
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \) возрастает на интервале \(\ (0 ; 6) \) и уменьшается на отрезках \(\ (-\infty ; 0) \), \(\ (6 ;+\infty) \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Определить интервалы увеличения и уменьшения функции

    \(\ y=\frac{x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1}{x} \)

  • Решение

    Область определения функции решения \(\ D(y) : x \in(-\infty ; 0) \cup(0 ;+\infty) \)

    Вычислить производную данной функции

    \(\ y^{\prime}=\frac{2 x \cdot x-1 \cdot\left(x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1\right)}{x}=\frac{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -1}{x} \)

    Приравняем производную производную к нулю и найдем корни полученного уравнения

    \(\ \frac{x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -1}{x}=0 \Leftrightarrow \frac{(x+1)(x-1)}{x}=0 \Leftrightarrow x \neq 0 ; x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =-1 ; x_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =1 \)

    Мы получаем четыре интервала, мы привезем их в таблицу.

    \(\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x&(-\infty ;-1)& (-1 ; 0)& (0 ; 1)& (1 ;+\infty)\\ \hline y^{\prime}&-&+&-&+\\ \hline y&убывает&возрастает&убывает&возрастает\\ \hline \end{array} \)

  • Ответ

    Функция \(\ y=\frac{x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1}{x} \) возрастает на интервалах \(\ (-1 ; 0) \), \(\ (1 ;+\infty) \) и уменьшается на отрезках \(\ (-\infty ;-1) \), \(\ (1 ;+\infty) \)
  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы