Узнать цену работы
Статьи по теме

Наибольшее и наименьшее значение функции

Проблема нахождения наибольших и наименьших значений обычно решается для заданной и непрерывной функции на определенном интервале.

Теорема

Если функция

\(\ f(x) \) непрерывна на отрезке \(\ [a ; b] \) , то среди ее значений на этом отрезке наибольшая и наименьшая.

Правило для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на интервале. Чтобы найти наименьшие и наибольшие значения непрерывной функции \(\ f(x) \) на сегменте \(\ [a ; b] \) , вам необходимо:

найти его значение на концах этого сегмента, то есть значения \(\ f(a) \) и \(\ f(b) \) ;

найти его значение в неподвижных точках функции, принадлежащих отрезку \(\ [a ; b] \) ;

из всех найденных значений выберите самый большой и наименьший.

Примеры нахождения наивысших и наименьших значений

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Найти наибольшее и наименьшее значение функции \(\ y=\frac{x}{4}+\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {x} \) на отрезке \(\ [1 ; 4] \)

  • Решение.

    Найдите значение функции на концах данного сегмента:

    \(\ y(1)=\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {4}+\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =1 \frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {4} \); \(\ y(4)=\frac{4}{4}+\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {4}=1 \frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {4} \)

    Далее мы определяем критические точки функции. Для этого мы вычисляем и приравниваем нулю производную данной функции

    \(\ y^{\prime}=\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {4}-\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \)

    \(\ \frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {4}-\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=0 \Leftrightarrow \frac{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -4}{4 x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x \neq 0} \\ {x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -4=0 ;}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x \neq 0} \\ {(x-2)(x+2)=0}\end{array} \Leftrightarrow\right.\right. \Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}{x \neq 0} \\ {x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =-2 ;} & {x_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =2}\end{array}\right. \)

    Таким образом, \(\ x_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =-2 \);\(\ x_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =2 \) являются стационарными точками данной функции, из которых только \(\ x_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =2 \) лежит на отрезке \(\ [1 ; 4] \) . Найти значение функции в этой точке.

    \(\ y(2)=\frac

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    {4}+\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =1 \)

    Из трех значений \(\ y(1)=1 \frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {4} \); \(\ y(4)=1 \frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {4} \); \(\ y(2)=\frac
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    {4}+\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =1 \)

    мы выбираем самый большой и наименьший.

  • Ответ

    \(\ y_{\max }=y(1)=y(4)=1 \frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {4} \); \(\ y _ { \ min _ {1 ; 4} } = y(2)=1 \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Найти наибольшее и наименьшее значение функции \(\ y=\frac{x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -x+1}{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1} \) на сегменте \(\ [-2 ; 2] \)

  • Решение

    Функция решения \(\ y=\frac{x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -x+1}{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1} \) непрерывна на отрезке \(\ [-2 ; 2] \) .Найти его производную, используя правило дифференцирования конкретного

    \(\ y^{\prime}=\frac{\left(x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -x+1\right)^{\prime}\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1\right)-\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -x+1\right)\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1\right)^{\prime}}{\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1\right)^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=\frac{(2 x-1)\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1\right)-\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -x+1\right) \cdot 2 x}{\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1\right)^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    }=\frac{x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -1}{\left(x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1\right)^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \)

    Приравняв производную к нулю, получим уравнение

    \(\ x^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -1=0 \Leftrightarrow(x-1)(x+1)=0 \Leftrightarrow x_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =-1 ; x_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =1 \)

    Обе полученные точки принадлежат отрезку \(\ [-2 ; 2] \) .Найдите значение функции на концах данного сегмента и в критических точках и выберите из полученных значений наименьшее и наибольшее:

    \(\ y(-1)=\frac{(-1)^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -(-1)+1}{(-1)^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1}=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \); \(\ y(1)=\frac{1^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -1+1}{1^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1}=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    \(\ y(-2)=\frac{(-2)^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -(-2)+1}{(-2)^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1}=\frac{7}{5} \); \(\ y(2)=\frac{2^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -2+1}{2^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +1}=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    {5} \)

    Следовательно, наименьшее значение функции на этом отрезке есть \(\ \frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \) ; и наибольшее - число \(\ \frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

  • Ответ

    \(\ y_{[-2 ; 2]}=y(-1)=\frac

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \); \(\ y_{[-2 ; 2]}=y(1)=\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)
  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы