Проблема нахождения наибольших и наименьших значений обычно решается для заданной и непрерывной функции на определенном интервале.
Теорема
Если функция
\(\
f(x)
\) непрерывна на отрезке \(\
[a ; b]
\) , то среди ее значений на этом отрезке наибольшая и наименьшая.
Правило для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на интервале. Чтобы найти наименьшие и наибольшие значения непрерывной функции \(\
f(x)
\) на сегменте \(\
[a ; b]
\) , вам необходимо:
найти его значение на концах этого сегмента, то есть значения \(\
f(a)
\) и \(\
f(b)
\) ;
найти его значение в неподвижных точках функции, принадлежащих отрезку \(\
[a ; b]
\) ;
из всех найденных значений выберите самый большой и наименьший.
Примеры нахождения наивысших и наименьших значений
ПРИМЕР 1
Задача
Найти наибольшее и наименьшее значение функции \(\
y=\frac{x}{4}+\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{x}
\) на отрезке \(\
[1 ; 4]
\)
Решение.
Найдите значение функции на концах данного сегмента:
\(\
y(1)=\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{4}+\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=1 \frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{4}
\); \(\
y(4)=\frac{4}{4}+\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{4}=1 \frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{4}
\)
Далее мы определяем критические точки функции. Для этого мы вычисляем и приравниваем нулю производную данной функции
\(\
y^{\prime}=\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{4}-\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{x^
}
\)
\(\
\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{4}-\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{x^
}=0 \Leftrightarrow \frac{x^
-4}{4 x^
}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x \neq 0} \\ {x^
-4=0 ;}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x \neq 0} \\ {(x-2)(x+2)=0}\end{array} \Leftrightarrow\right.\right. \Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}{x \neq 0} \\ {x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=-2 ;} & {x_
=2}\end{array}\right.
\)
Таким образом, \(\
x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=-2
\);\(\
x_
=2
\) являются стационарными точками данной функции, из которых только \(\
x_
=2
\) лежит на отрезке \(\
[1 ; 4]
\) . Найти значение функции в этой точке.
\(\
y(2)=\frac
{4}+\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=1
\)
Из трех значений \(\
y(1)=1 \frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{4}
\); \(\
y(4)=1 \frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{4}
\); \(\
y(2)=\frac
{4}+\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=1
\)
мы выбираем самый большой и наименьший.
Ответ
\(\
y_{\max }=y(1)=y(4)=1 \frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{4}
\); \(\
y _ { \ min _ {1 ; 4} } = y(2)=1
\)
ПРИМЕР 2
Задача
Найти наибольшее и наименьшее значение функции \(\
y=\frac{x^
-x+1}{x^
+1}
\) на сегменте \(\
[-2 ; 2]
\)
Решение
Функция решения \(\
y=\frac{x^
-x+1}{x^
+1}
\) непрерывна на отрезке \(\
[-2 ; 2]
\) .Найти его производную, используя правило дифференцирования конкретного
\(\
y^{\prime}=\frac{\left(x^
-x+1\right)^{\prime}\left(x^
+1\right)-\left(x^
-x+1\right)\left(x^
+1\right)^{\prime}}{\left(x^
+1\right)^
}=\frac{(2 x-1)\left(x^
+1\right)-\left(x^
-x+1\right) \cdot 2 x}{\left(x^
+1\right)^
}=\frac{x^
-1}{\left(x^
+1\right)^
}
\)
Приравняв производную к нулю, получим уравнение
\(\
x^
-1=0 \Leftrightarrow(x-1)(x+1)=0 \Leftrightarrow x_
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
=-1 ; x_
=1
\)
Обе полученные точки принадлежат отрезку \(\
[-2 ; 2]
\) .Найдите значение функции на концах данного сегмента и в критических точках и выберите из полученных значений наименьшее и наибольшее:
\(\
y(-1)=\frac{(-1)^
-(-1)+1}{(-1)^
+1}=\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\); \(\
y(1)=\frac{1^
-1+1}{1^
+1}=\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\)
\(\
y(-2)=\frac{(-2)^
-(-2)+1}{(-2)^
+1}=\frac{7}{5}
\); \(\
y(2)=\frac{2^
-2+1}{2^
+1}=\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
{5}
\)
Следовательно, наименьшее значение функции на этом отрезке есть \(\
\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\) ; и наибольшее - число \(\
\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\)
Ответ
\(\
y_{[-2 ; 2]}=y(-1)=\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\); \(\
y_{[-2 ; 2]}=y(1)=\frac
Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
Задать вопрос
\)
