Наибольшее и наименьшее значение функции
Проблема нахождения наибольших и наименьших значений обычно решается для заданной и непрерывной функции на определенном интервале.
Теорема
Если функция
\(\ f(x) \) непрерывна на отрезке \(\ [a ; b] \) , то среди ее значений на этом отрезке наибольшая и наименьшая.
Правило для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на интервале. Чтобы найти наименьшие и наибольшие значения непрерывной функции \(\ f(x) \) на сегменте \(\ [a ; b] \) , вам необходимо:
найти его значение на концах этого сегмента, то есть значения \(\ f(a) \) и \(\ f(b) \) ;
найти его значение в неподвижных точках функции, принадлежащих отрезку \(\ [a ; b] \) ;
из всех найденных значений выберите самый большой и наименьший.
Примеры нахождения наивысших и наименьших значений
ПРИМЕР 1
Найти наибольшее и наименьшее значение функции \(\
y=\frac{x}{4}+\frac{1}{x}
\) на отрезке \(\
[1 ; 4]
\)
Найдите значение функции на концах данного сегмента:
\(\
y(1)=\frac{1}{4}+\frac{1}{1}=1 \frac{1}{4}
\); \(\
y(4)=\frac{4}{4}+\frac{1}{4}=1 \frac{1}{4}
\)
Далее мы определяем критические точки функции. Для этого мы вычисляем и приравниваем нулю производную данной функции
\(\
y^{\prime}=\frac{1}{4}-\frac{1}{x^{2}}
\)
\(\
\frac{1}{4}-\frac{1}{x^{2}}=0 \Leftrightarrow \frac{x^{2}-4}{4 x^{2}}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x \neq 0} \\ {x^{2}-4=0 ;}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x \neq 0} \\ {(x-2)(x+2)=0}\end{array} \Leftrightarrow\right.\right. \Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}{x \neq 0} \\ {x_{1}=-2 ;} & {x_{2}=2}\end{array}\right.
\)
Таким образом, \(\
x_{1}=-2
\);\(\
x_{2}=2
\) являются стационарными точками данной функции, из которых только \(\
x_{2}=2
\) лежит на отрезке \(\
[1 ; 4]
\) . Найти значение функции в этой точке.
\(\
y(2)=\frac{2}{4}+\frac{1}{2}=1
\)
Из трех значений \(\
y(1)=1 \frac{1}{4}
\); \(\
y(4)=1 \frac{1}{4}
\); \(\
y(2)=\frac{2}{4}+\frac{1}{2}=1
\)
мы выбираем самый большой и наименьший.
\(\
y_{\max }=y(1)=y(4)=1 \frac{1}{4}
\); \(\
y _ { \ min _ {1 ; 4} } = y(2)=1
\)
ПРИМЕР 2
Найти наибольшее и наименьшее значение функции \(\
y=\frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+1}
\) на сегменте \(\
[-2 ; 2]
\)
Функция решения \(\
y=\frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+1}
\) непрерывна на отрезке \(\
[-2 ; 2]
\) .Найти его производную, используя правило дифференцирования конкретного
\(\
y^{\prime}=\frac{\left(x^{2}-x+1\right)^{\prime}\left(x^{2}+1\right)-\left(x^{2}-x+1\right)\left(x^{2}+1\right)^{\prime}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\frac{(2 x-1)\left(x^{2}+1\right)-\left(x^{2}-x+1\right) \cdot 2 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\frac{x^{2}-1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}
\)
Приравняв производную к нулю, получим уравнение
\(\
x^{2}-1=0 \Leftrightarrow(x-1)(x+1)=0 \Leftrightarrow x_{1}=-1 ; x_{2}=1
\)
Обе полученные точки принадлежат отрезку \(\
[-2 ; 2]
\) .Найдите значение функции на концах данного сегмента и в критических точках и выберите из полученных значений наименьшее и наибольшее:
\(\
y(-1)=\frac{(-1)^{2}-(-1)+1}{(-1)^{2}+1}=\frac{3}{2}
\); \(\
y(1)=\frac{1^{2}-1+1}{1^{2}+1}=\frac{1}{2}
\)
\(\
y(-2)=\frac{(-2)^{2}-(-2)+1}{(-2)^{2}+1}=\frac{7}{5}
\); \(\
y(2)=\frac{2^{2}-2+1}{2^{2}+1}=\frac{3}{5}
\)
Следовательно, наименьшее значение функции на этом отрезке есть \(\
\frac{1}{2}
\) ; и наибольшее - число \(\
\frac{3}{2}
\)
\(\
y_{[-2 ; 2]}=y(-1)=\frac{3}{2}
\); \(\
y_{[-2 ; 2]}=y(1)=\frac{1}{2}
\)