Неоднородные дифференциальные уравнения

Определение и формулы неоднородных дифференциальных уравнений

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Неоднородным дифференциальным уравнением является дифференциальное уравнение, правая часть которого тождественно отлична от нуля: \(\ F\left(x, y, y^{\prime}, \ldots, y^{(n)}\right)=f(x) \)

Например: \(\ y^{\prime \prime}-x y=3 x^{2} \)

Решение неоднородных дифференциальных уравнений

Если неоднородное уравнение линейно \(\ y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+a_{n-2} y^{(n-2)}+\ldots+a_{1} y^{\prime}+a_{0} y=f(x) \)

то алгоритм нахождения его решения таков:

1) решается соответствующее однородное дифференциальное уравнение \(\ y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+a_{n-2} y^{(n-2)}+\ldots+a_{1} y^{\prime}+a_{0} y=0 \)

Для этого записывается характеристическое уравнение \(\ k^{n}+a_{n-1} k^{n-1}+a_{n-2} k^{-2}+\ldots+a_{1} k+a_{0}=0 \) и являются его корнями. В виде корней характеристического уравнения записывается общее решение этого однородного дифференциального уравнения.

По форме правой части неоднородного дифференциального уравнения выбирается его частное решение, так называемая «вынужденная» составляющая решения начального неоднородного дифференциального уравнения

Полное решение неоднородного дифференциального уравнения записывается как сумма полного решения однородного дифференциального уравнения и вынужденной составляющей решения неоднородного дифференциального уравнения с неизвестными интегральными константами. При необходимости константы интегрирования определяются из начальных условий.

ПРИМЕР