Непрерывность функции в точке и на промежутке

чтобы доказать непрерывность функции \(\ y=x^{2}-2 x+11 \)

Пусть \(\ x=a \)- некоторая произвольная точка. Найти предел данной функции, поскольку аргумент стремится к точке \(\ x=a \):

\(\ \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\lim _{x \rightarrow a}\left(x^{2}-2 x+11\right)=a^{2}-2 a+11 \)

Затем мы найдем значение функции в точке \(\ x=a \):

\(\ y(a)=a^{2}-2 a+11 \)

Поскольку

\(\ \lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a) \)

то функция \(\ y=x^{2}-2 x+11 \) непрерывна при \(\ x=a \). Так как точка \(\ x=a \) - произвольная точка, то доказано, что функция непрерывна при всех значениях \(\ x \).

Пусть \(\ \Delta x=x \) и \(\ \Delta y=\Delta f(x)=f(x)-f(a) \) - приращение функции, соответствующей этому приращению аргумента.

(Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке). Функция \(\ y=f(x) \) непрерывна в точке \(\ x=a \) тогда и только тогда, когда

\(\ \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \Delta f(x)=0 \)

То есть функция \(\ y=f(x) \) называется непрерывной в точке \(\ x=a \), если она определена в точке \(\ x=a \), а ее окрестность и равенство \(\ \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \Delta f(x)=0 \) выполняется (инфинитезимальное приращение аргумента соответствует инфинитезимальному приращению функции).

ПРИМЕР

Чтобы исследовать функцию непрерывности \(\ y=\sin x \)

Указанная функция определена для всех \(\ x \in R \) . Возьмем произвольную точку \(\ x \) и найдем приращение функции \(\ \Delta y \) :

\(\ \Delta y=\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)=\sin (x+\Delta x)-\sin x \)

Примените формулу «разница синусов»:

\(\ \sin x-\sin y=2 \sin \frac{x-y}{2} \cos \frac{x+y}{2} \)

Буду иметь:

\(\ \Delta y=2 \sin \frac{\Delta x}{2} \cos \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right) \)

Найдите предел приращения функции при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:

\(\ \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} 2 \sin \frac{\Delta x}{2} \cos \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)=2 \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \sin \frac{\Delta x}{2} \cos \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right) \)

Поскольку аргумент синуса стремится к нулю, его можно заменить его аргументом (так как эти функции эквивалентны бесконечно малым функциям):

\(\ \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} 2 \sin \frac{\Delta x}{2} \cos \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)=2 \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{2} \cos \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)=2 \cdot \frac{0}{2} \cdot \cos x=0 \)

Тогда по определению функция \(\ y=\sin x \) непрерывна в произвольной точке \(\ x \).

Функция непрерывна для любого \(\ x \in R \)

Непрерывность функции справа и слева в точке

Рассмотрим функцию \(\ y=f(x) \), которая определена в полуинтервале \(\ [a ; a+\delta) \)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Функция \(\ y=f(x) \) называется непрерывной справа при \(\ x=a \), если существует односторонний предел

\(\ f(a+0)=\lim _{x \rightarrow a+0} f(x)=f(a) \)

Пусть функция \(\ y=f(x) \) определена в полуинтервале \(\ (a-\delta ; a] \)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Функция \(\ y=f(x) \) называется левой непрерывной в точке \(\ x=a \), если в этой точке есть левый предел

\(\ f(a-0)=\lim _{x \rightarrow a-0} f(x)=f(a) \)

Если функции \(\ f(x) ; \quad g(x) \) непрерывны при \(\ x=a \), то функции в этой точке также будут непрерывными

\(\ f(x) \pm g(x), f(x) \cdot g(x), \frac{f(x)}{g(x)}, g(a) \neq 0 \)

Если функция \(\ t(x) \) непрерывна при \(\ x=a \), а функция \(\ f(t) \) непрерывна в соответствующей точке \(\ t_{0}=f(a) \) , то комплекс \(\ f(t(x)) \) непрерывен при \(\ x=a \).

Все элементарные функции непрерывны в каждой точке их областей.

(Ограниченность непрерывной функции). Если функция \(\ y=f(x) \) непрерывна в точке \(\ x=a \), то существует окрестность этой точки, где данная функция ограничена.

(Об устойчивости знака непрерывной функции). Если функция \(\ y=f(x) \) непрерывна в точке \(\ x=a ; \quad f(a) \neq 0 \) , то существует окрестность этой точки, в которой \(\ f(a) \neq 0 \) , а знак функции в этой окрестности совпадает со знаком \(\ f(a) \) .

Функция непрерывности на зазоре

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Функция \(\ y=f(x) \) называется непрерывной на отрезке \(\ (a ; b) \) , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция \(\ y=f(x) \) называется непрерывной на отрезке \(\ [a ; b] \) , если она непрерывна на отрезке \(\ (a ; b) \), непрерывном справа в точке а и непрерывном слева в точке \(\ b \).

Комментарий. Функция, непрерывная на отрезке \(\ [a ; b] \) , может быть разрывной в точках \(\ a \) и \(\ \mathrm{b} \).

(Об ограниченности непрерывной функции на отрезке). Если функция \(\ y=f(x) \) непрерывна на отрезке \(\ [a ; b] \) , то она ограничена на этом отрезке, т. е. Существует такое число \(\ M>0 \), что для любого \(\ x \in[a ; b] \) неравенства \(\ |f(x)| \leq M \)

(Теорема Вейерштрасса). Если функция \(\ y=f(x) \) непрерывна на отрезке \(\ [a ; b] \) , то она достигает на этом отрезке своих наибольших \(\ \mathrm{M} \) и наименьших значений \(\ \mathrm{m} \).

(О существовании нуля на отрезке непрерывности). Если функция \(\ y=f(x) \) непрерывна на отрезке \(\ y=f(x) \) , а на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале \(\ [a ; b] \) имеется по крайней мере одна точка \(\ \mathrm{C} \), в которой \(\ f(c)=0 \)

(Теорема Больцано-Коши). Если функция \(\ y=f(x) \) непрерывна на отрезке \(\ [a ; b] \) , то она принимает на интервале \(\ (a ; b) \) все промежуточные значения между \(\ f(a) \) и \(\ f(b) \)

(О существовании непрерывной обратной функции). Пусть функция \(\ y=f(x) \) определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке \(\ [a ; b] \) . Тогда на отрезке \(\ [\alpha ; \beta] \) , где \(\ \alpha=f(a), \beta=f(b) \) , обратная функция \(\ x=f^{-1}(y) \) строго монотонна и непрерывна на отрезке \(\ [\alpha ; \beta] \)