Несобственный интеграл
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Определенный интеграл непрерывной функции, но с бесконечным интервалом интегрирования или определенным интегралом на конечном интервале, но функцией, допускающей щель в этом интервале, называется несобственным интегралом.
Неподходящий интеграл первого рода
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть функция \(\
y=f(x)
\) непрерывна на отрезке \(\
[a ;+\infty)
\) . Если существует конечное \(\
\lim _{b \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f(x) d x
\) , то оно называется несобственным интегралом первого рода и обозначается \(\
\int_{a}^{\infty} f(x) d x
\) .
Итак, по определению
\(\
\int_{a}^{+\infty} f(x) d x=\lim _{b \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) d x
\)
Если такой предел существует, то говорят, что собственный интеграл \(\
\int_{a}^{\infty} f(x) d x
\) сходится. В противном случае, если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится.
Аналогичным образом определяется несобственный интеграл на интервале \(\
(-\infty ; b]
\) .
Несобственный интеграл первого рода с двумя бесконечными пределами определяется формулой:
\(\
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x=\int_{-\infty}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{+\infty} f(x) d x
\)
Такой несобственный интеграл сходится, только если сходятся оба несобственных интеграла в правой части.
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
Вычислить неправильный интеграл или установить его расхождение.
\(\
\int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x^{2}}
\)
Этот интеграл является несобственным интегралом первого рода, так как функция интегрирования \(\
f(x)=\frac{1}{x^{2}}
\) непрерывна на интервале интегрирования \(\
[1 ;+\infty)
\) но один из пределов интегрирования - бесконечность. Тогда, по определению, мы имеем:
\(\
\int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x^{2}}=\lim _{a \rightarrow+\infty} \int_{1}^{a} \frac{d x}{x^{2}}=-\lim _{a \rightarrow+\infty}\left.\frac{1}{x}\right|_{0} ^{a}=-\lim _{a \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{a}-1\right)=-(0-1)=1
\)
\(\
\int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x^{2}}=1
\)
ПРИМЕР 2
Решите неправильный интеграл или установите его расхождение.
\(\
\int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x}
\)
Рассматриваемый интеграл является несобственным интегралом первого рода, так как функция \(\
f(x)=\frac{1}{x}
\) на полубесконечном интервале \(\
[1 ;+\infty)
\)непрерывна, но правая интегральная граница бесконечна. Согласно определению, давайте перейдем к границе
\(\
\int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x}=\lim _{a \rightarrow+\infty} \int_{1}^{a} \frac{d x}{x}=\lim _{a \rightarrow+\infty} \ln x_{1}^{a}=\lim _{a \rightarrow+\infty}(\ln a-0)=+\infty
\)
т. е. интеграл расходится.
Интеграл расходится.
Неправильный интеграл второго рода
Пусть некоторая функция \(\
y=f(x)
\) непрерывна на отрезке \(\
[a ; b)
\), а в точке \(\
x=b
\) имеет разрыв второго рода. Если существует конечный предел \(\
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{a}^{b-\varepsilon} f(x) d x
\) , то он называется несобственным интегралом второго рода и обозначается \(\
\int_{a}^{b} f(x) d x
\) , т. е.
\(\
\int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{a}^{b-\varepsilon} f(x) d x
\)
Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся. В случае, когда предел не существует или равен бесконечности, неправильный интеграл расходится.
Аналогично, если в точке \(\
x=a
\) подынтегральная функция \(\
y=f(x)
\)страдает бесконечным разрывом, то несобственный интеграл второго рода определяется равенством:
\(\
\int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{a+\varepsilon}^{b} f(x) d x
\)
Если функция подынтегральной функции имеет разрыв в некоторой внутренней точке с отрезка \(\
[a ; b]
\) , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:
\(\
\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{b} f(x) d x
\)
Интеграл в левой части уравнения называется сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части приведенного равенства.
ПРИМЕР 3
Вычислить интеграл или установить, что он расходится.
\(\
\int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{2}}
\)
В точке \(\
x=0
\), принадлежащей интервалу интегрирования \(\
(0 ; 1]
\) , подынтегральная функция \(\
f(x)=\frac{1}{x^{2}}
\) имеет разрыв второго рода:
\(\
\lim _{x \rightarrow 0+0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0+0} \frac{1}{x^{2}}=\left[\frac{1}{(0+0)^{2}}=\frac{1}{+0}\right]=+\infty
\)
Поэтому рассматриваемый интеграл является несобственным интегралом второго рода, то, по определению, имеем:
\(\
\int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{2}}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{0+\varepsilon}^{1} \frac{d x}{x^{2}}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\left.\left(-\frac{1}{x}\right)\right|_{\varepsilon} ^{1}=-\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\left(1-\frac{1}{\varepsilon}\right)=-1+\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\varepsilon}=\infty
\)
поэтому данный интеграл расходится.
Интеграл расходится.