Узнать цену работы
Статьи по теме

Несобственный интеграл

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Определенный интеграл непрерывной функции, но с бесконечным интервалом интегрирования или определенным интегралом на конечном интервале, но функцией, допускающей щель в этом интервале, называется несобственным интегралом.

Неподходящий интеграл первого рода

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Пусть функция \(\ y=f(x) \) непрерывна на отрезке \(\ [a ;+\infty) \) . Если существует конечное \(\ \lim _{b \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f(x) d x \) , то оно называется несобственным интегралом первого рода и обозначается \(\ \int_{a}^{\infty} f(x) d x \) .

Итак, по определению

\(\ \int_{a}^{+\infty} f(x) d x=\lim _{b \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) d x \)

Если такой предел существует, то говорят, что собственный интеграл \(\ \int_{a}^{\infty} f(x) d x \) сходится. В противном случае, если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится.

Аналогичным образом определяется несобственный интеграл на интервале \(\ (-\infty ; b] \) .

Несобственный интеграл первого рода с двумя бесконечными пределами определяется формулой:

\(\ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x=\int_{-\infty}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{+\infty} f(x) d x \)

Такой несобственный интеграл сходится, только если сходятся оба несобственных интеграла в правой части.

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Вычислить неправильный интеграл или установить его расхождение.

    \(\ \int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x^{2}} \)

  • Решение.

    Этот интеграл является несобственным интегралом первого рода, так как функция интегрирования \(\ f(x)=\frac{1}{x^{2}} \) непрерывна на интервале интегрирования \(\ [1 ;+\infty) \) но один из пределов интегрирования - бесконечность. Тогда, по определению, мы имеем:

    \(\ \int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x^{2}}=\lim _{a \rightarrow+\infty} \int_{1}^{a} \frac{d x}{x^{2}}=-\lim _{a \rightarrow+\infty}\left.\frac{1}{x}\right|_{0} ^{a}=-\lim _{a \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{a}-1\right)=-(0-1)=1 \)

  • Ответ

    \(\ \int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x^{2}}=1 \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Решите неправильный интеграл или установите его расхождение.

    \(\ \int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x} \)

  • Решение.

    Рассматриваемый интеграл является несобственным интегралом первого рода, так как функция \(\ f(x)=\frac{1}{x} \) на полубесконечном интервале \(\ [1 ;+\infty) \)непрерывна, но правая интегральная граница бесконечна. Согласно определению, давайте перейдем к границе

    \(\ \int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x}=\lim _{a \rightarrow+\infty} \int_{1}^{a} \frac{d x}{x}=\lim _{a \rightarrow+\infty} \ln x_{1}^{a}=\lim _{a \rightarrow+\infty}(\ln a-0)=+\infty \)

    т. е. интеграл расходится.

  • Ответ

    Интеграл расходится.

    Неправильный интеграл второго рода

    Пусть некоторая функция \(\ y=f(x) \) непрерывна на отрезке \(\ [a ; b) \), а в точке \(\ x=b \) имеет разрыв второго рода. Если существует конечный предел \(\ \lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{a}^{b-\varepsilon} f(x) d x \) , то он называется несобственным интегралом второго рода и обозначается \(\ \int_{a}^{b} f(x) d x \) , т. е.

    \(\ \int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{a}^{b-\varepsilon} f(x) d x \)

    Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся. В случае, когда предел не существует или равен бесконечности, неправильный интеграл расходится.

    Аналогично, если в точке \(\ x=a \) подынтегральная функция \(\ y=f(x) \)страдает бесконечным разрывом, то несобственный интеграл второго рода определяется равенством:

    \(\ \int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{a+\varepsilon}^{b} f(x) d x \)

    Если функция подынтегральной функции имеет разрыв в некоторой внутренней точке с отрезка \(\ [a ; b] \) , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

    \(\ \int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{b} f(x) d x \)

    Интеграл в левой части уравнения называется сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части приведенного равенства.

    ПРИМЕР 3

  • Задача

    Вычислить интеграл или установить, что он расходится.

    \(\ \int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{2}} \)

  • Решение.

    В точке \(\ x=0 \), принадлежащей интервалу интегрирования \(\ (0 ; 1] \) , подынтегральная функция \(\ f(x)=\frac{1}{x^{2}} \) имеет разрыв второго рода:

    \(\ \lim _{x \rightarrow 0+0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0+0} \frac{1}{x^{2}}=\left[\frac{1}{(0+0)^{2}}=\frac{1}{+0}\right]=+\infty \)

    Поэтому рассматриваемый интеграл является несобственным интегралом второго рода, то, по определению, имеем:

    \(\ \int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{2}}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{0+\varepsilon}^{1} \frac{d x}{x^{2}}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\left.\left(-\frac{1}{x}\right)\right|_{\varepsilon} ^{1}=-\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\left(1-\frac{1}{\varepsilon}\right)=-1+\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\varepsilon}=\infty \)

    поэтому данный интеграл расходится.

  • Ответ

    Интеграл расходится.

  • Узнать цену работы
    Узнай цену
    своей работы
    Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход?
    Закажи свою оригинальную работу
    УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ