Узнать цену работы
Статьи по теме

Область значений функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Диапазон значений или диапазон изменения функции \(\ y=f(x) \) - это набор значений, которые может принимать зависимая переменная y.

Обозначает диапазон функции - \(\ E(f) \) или \(\ E(y) \)

Диапазон основных элементарных функций

Для линейной функции \(\ y=k x+b \) диапазон значений \(\ E(y) : y \in R \)

Для обратной пропорциональности, т. Е. Функции, заданной формулой \(\ y=\frac{k}{x},(k \neq 0) \) , диапазон значений: \(\ E(y) : y \in(-\infty, 0) \cup(0,+\infty) \)

Значение \(\ y_{o}=y\left(x_{o}\right)=-\frac{D}{4 a} \) , где \(\ D=b^

Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
-4 a c \) является дискриминантом, называется ординатной вершиной параболы, заданной уравнением \(\ y=a x^
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
+b x+c(a \neq 0) \)

Действительно, абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле \(\ x_

Так и не нашли ответ на вопрос?
Просто напишите, с чем нужна помощь
Мне нужна помощь
=-\frac{b}{2 a} \),то

\(\ y\left(x_{o}\right)=a \cdot\left(-\frac{b}{2 a}\right)^

Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
+b \cdot\left(-\frac{b}{2 a}\right)+c=\frac{a b^
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
}{4 a^
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
}-\frac{b^
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
}{2 a}+c=\frac{b^
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
-2 b^
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
+4 a c}{4 a}=-\frac{D}{4 a} \)

Итак, для квадратичной функции \(\ y=a x^

Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
+b x+c \) :если \(\ \mathrm{a}<0 \), то ветви параболы направлены вниз, а значение \(\ y_{o} \) является наибольшим значением функции, то есть \(\ E(y) : y \in\left(-\infty, y_{o}\right] \) , если $\(\ \mathrm{a}>0 \), то ветви направлены вверх, а значение \(\ y_
Так и не нашли ответ на вопрос?
Просто напишите, с чем нужна помощь
Мне нужна помощь
\) является наименьшим значением функции, то есть \(\ E(y) : y \in\left[y_{o},+\infty\right) \)

Для логарифмической функции \(\ y=\log _{a} x \) диапазон значений \(\ E(y) : y \in R \)

Для экспоненциальной функции \(\ y=a^{x}(a>0) \) диапазон значений \(\ \mathrm{E}(y) : y \in(0,+\infty) \)

Для тригонометрических функций \(\ y=\sin x ; y=\cos x \) диапазон значений \(\ E(y) : y \in[-1,1] \) , для \(\ y=\operatorname{tg} x ; y=\operatorname{ctg} x \) , диапазон значений представляет собой совокупность всех действительных чисел.

КОММЕНТАРИЙ

Часто при изучении тригонометрических функций помогает формула

\(\ a \cdot \cos x+b \cdot \sin x=\sqrt{a^

Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
+b^
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
} \cdot \cos (x-\alpha) \)

из которого следует, что диапазон функции \(\ y=a \cos x+b \sin x \) является щелью \(\ E(y) : y \in\left[-\sqrt{a^

Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
+b^
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
}, \sqrt{a^
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
+b^
Не нашли ответ?
Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
Мне нужна помощь
}\right] \) .

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Чтобы найти диапазон квадратичных функций

    \(\ y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =-x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +4 x-3 ; 2 ) y_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +2 x-5 \)

  • Решение

    1) Для функции \(\ y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =-x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +4 x-3 \) имеем \(\ a=-1, b=4, c=-3 \). Графом этой функции является парабола. Найдите абсцисс верха параболы

    \(\ x_

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =-\frac{b}{2 a}=-\frac{4}{2 \cdot(-1)}=2 \)

    Чтобы найти \(\ y_

    Так и не нашли ответ на вопрос?
    Просто напишите, с чем нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \) , подставим найденное значение \(\ x_{o} \) в заданное квадратичное уравнение

    \(\ y_{o}=y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \left(x_{o}\right)=y(2)=-2^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +4 \cdot 2-3=-4+8-3=1 \)

    Поскольку \(\ a=-1<0 \) , то ветви параболы направлены вниз, а площадь значения \(\ E\left(y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right) : y \in(-\infty, 1] \)

    2) Для функции \(\ y_

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =x^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +2 x-5 : a=1, b=2, c=-5 \). Значение a\(\ a=1>0 \) означает, что ветви параболы направлены вверх, а значение \(\ y_{o} \) является наименьшим значением функции. Найдите это значение:

    \(\ y_{o}=-\frac{b^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -4 a c}{4 a}=-\frac{2^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    -4 \cdot 1 \cdot(-5)}{4 \cdot 1}=-\frac{4+20}{4}=-6 \)

    Таким образом, \(\ E\left(y_

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right) : y \in[-6,+\infty) \)

  • Ответ

    \(\ E\left(y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right) : y \in(-\infty, 1] ; E\left(y_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right) : y \in[-6,+\infty) \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    Найти диапазон тригонометрических функций

    1) \(\ y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =3 \cos x-2 \)

    2)\(\ y_

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\cos x \cdot \sin x \)

    3)\(\ y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =3 \cos x-4 \sin x \)

  • Решение

    1) Чтобы определить диапазон функции \(\ y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =3 \cos x-2 \) , воспользуемся тем, что \(\ E(\cos x) : y \in[-1,1] \) , т. е. Существует двойное неравенство

    \(\ -1 \leq \cos x \leq 1 \)

    Умножьте все части этого неравенства на 3:

    \(\ -3 \leq 3 \cos x \leq 3 \)

    вычитают из всех частей полученного неравенства 2, получаем

    \(\ -3-2 \leq 3 \cos x-2 \leq 3-2 \Rightarrow-5 \leq 3 \cos x-2 \leq 1 \)

    Таким образом, \(\ E\left(y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right) : y \in[-5,1] \)

    2) Чтобы найти диапазон функции \(\ y_

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\cos x \cdot \sin x \), мы преобразуем правую часть выражения, используя формулу синуса для двойного угла:

    \(\ 2 \cos x \cdot \sin x=\sin 2 x \Rightarrow \cos x \cdot \sin x=\frac{\sin 2 x}

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \)

    Получите

    \(\ y_

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    =\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \sin 2 x \)

    Учитывая, что \(\ E(\sin 2 x) : y \in[-1,1] \) , получаем, что \(\ E\left(y_

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right)=E\left(\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \sin 2 x\right) : y \in\left[-\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    , \frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right] \)

    3) Чтобы найти диапазон функции \(\ y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    =3 \cos x-4 \sin x \) , воспользуемся формулой

    \(\ a \cdot \cos x+b \cdot \sin x=\sqrt{a^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +b^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \cdot \cos (x-\alpha) \)

    В нашем случае \(\ a=3 ; b=-4 \), то есть

    \(\ 3 \cos x-4 \sin x=\sqrt{3^

    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    +(-4)^
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    } \cdot \cos (x-\alpha)=\sqrt{9+16} \cdot \cos (x-\alpha)=5 \cos (x-\alpha) \)

    Поэтому диапазон значений - это зазор \(\ E\left(y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right) : y \in[-5,5] \)

    \(\ E\left(y_

    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right) : y \in[-5,1] ; E\left(y_
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right) : y \in\left[-\frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    , \frac
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    Не нашли ответ?
    Просто напиши, с чем тебе нужна помощь
    Мне нужна помощь
    \right] ; E\left(y_
    Лень читать?
    Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут
    Задать вопрос
    \right) : y \in[-5,5] \)
  • Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы